[论文解读] Linear, Second order and Unconditionally Energy stable schemes for The Viscous Cahn-Hilliard Equation with hyperbolic relaxation using the invariant energy quadratization method

Xiaofeng Yang, Jia Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文提出两种针对带有双曲松弛的黏性Cahn-Hilliard方程的线性、二阶精度且无条件能量稳定的全隐时间格式，采用不变能量二次化（IEQ）方法。通过将非线性项重写为二次形式，该方法在每一步时间推进中可高效求解对称正定线性系统，同时严格保持能量耗散结构，实现二维和三维模拟中的二阶时间收敛性与鲁棒稳定性。

ABSTRACT

In this paper, we consider numerical approximations for the viscous Cahn-Hilliard equation with hyperbolic relaxation. This type of equations processes energy-dissipative structure. The main challenge in solving such a diffusive system numerically is how to develop high order temporal discretization for the hyperbolic and nonlinear terms, allowing large time-marching step, while preserving the energy stability, i.e. the energy dissipative structure at the time-discrete level. We resolve this issue by developing two second-order time-marching schemes using the recently developed "Invariant Energy Quadratization" approach where all nonlinear terms are discretized semi-explicitly. In each time step, one only needs to solve a symmetric positive definite (SPD) linear system. All the proposed schemes are rigorously proven to be unconditionally energy stable, and the second-order convergence in time has been verified by time step refinement tests numerically. Various 2D and 3D numerical simulations are presented to demonstrate the stability, accuracy and efficiency of the proposed schemes.

研究动机与目标

• 为结合抛物与双曲动力学的黏性Cahn-Hilliard方程带双曲松弛，开发高阶、无条件能量稳定的全隐时间格式。
• 克服强非线性项（特别是双阱势能与惯性项）带来的数值稳定性挑战，同时保持时间上的二阶精度。
• 通过IEQ方法线性化非线性项，设计计算高效、避免非线性求解的格式，且不牺牲能量稳定性。
• 为具有复杂非线性自由能密度的梯度流问题（特别是相场模型）提供一个可证明稳定、二阶精度且易于实现的方法。
• 将能量稳定格式的适用范围扩展至VCH-HR模型，其中先前方法或缺乏二阶精度，或缺乏无条件稳定性，或不具备线性结构。

提出的方法

• 应用不变能量二次化（IEQ）方法，将非线性、下有界的自由能项重写为二次形式，从而实现对非线性项的半显式处理。
• 所得半离散系统在时间方向完全线性化，形成对称正定（SPD）线性系统，可使用Krylov子空间方法与质量凝聚预条件子高效求解。
• 基于IEQ框架构造两种二阶时间格式，通过时间离散层面的离散能量耗散，确保无条件能量稳定性。
• 以隐式方式处理黏性阻尼项与双曲松弛项，避免显式格式中常见的时间步长限制。
• 该方法可扩展用于处理对数型与Flory-Huggins型自由能势能，展现出在相场模型中的广泛适用性。
• 变分弱形式确保与Galerkin型空间离散化的一致性，便于自然推广至有限元或谱方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在强非线性项与惯性项，能否为带双曲松弛的黏性Cahn-Hilliard方程构造出二阶精度、无条件能量稳定的格式？
• RQ2 IEQ方法能否有效将复杂、下有界的非线性势能转化为线性化的二次形式，同时不损失能量稳定性？
• RQ3 能否设计一种线性、无条件稳定的格式，避免非线性求解，同时保持时间上的二阶精度？
• RQ4 所提格式在二维与三维旋节线分解问题中，能量耗散特性与长时间动力学行为表现如何？
• RQ5 该方法能否推广至其他具有复杂非线性自由能密度的梯度流问题？

主要发现

• 所提格式具有无条件能量稳定性，即无论时间步长大小，离散能量在每一步时间推进中均单调递减。
• 通过时间步长细化测试，数值验证了二阶时间收敛性，确认了格式的精度。
• 每一步时间推进仅需求解对称正定线性系统，可通过Krylov子空间求解器与质量凝聚预条件子实现高效求解。
• 二维与三维数值模拟表明，该格式具有良好的稳定性和精度，能正确模拟相分离动力学，如层状与圆柱状结构的形成。
• 对于Flory-Huggins势能，最终稳态形态依赖于初始浓度：在无通量边界条件下形成球形结构，在周期性边界条件下形成层状结构。
• 在无通量条件下，最终状态的能量低于周期性边界条件，表明边界条件对平衡形态具有显著影响。