[论文解读] Linearly Reductive Quotient Singularities

Christian Liedtke, Gebhard Martin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文研究正特征与混合特征下的线性约化商奇点（lrq 奇点），建立了其分类、刚性与形变性质。证明了 F-正则（相应地，F-正则且 Gorenstein）的表面奇点恰好来源于 GL₂（相应地，SL₂）的有限线性约化子群概形，且表明在维度 ≥4 时 lrq 奇点具有无穷小刚性，推广了 Schlessinger 定理。该工作还证实了 Gorenstein 情形下的 Riemannschneider 猜想，并建立了 lrq 奇点到特征零的典范提升。

ABSTRACT

We study isolated quotient singularities by finite and linearly reductive group schemes (lrq singularities for short) and show that they satisfy many, but not all, of the known properties of finite quotient singularities in characteristic zero: (1) From the lrq singularity we can recover the group scheme and the quotient presentation. (2) We establish canonical lifts to characteristic zero, which leads to a bijection between lrq singularities and certain characteristic zero counterparts. (3) We classify subgroup schemes of ${\mathbf{GL}}_d$ and ${\mathbf{SL}}_d$ that correspond to lrq singularities. For $d=2$, this generalises results of Klein, Brieskorn, and Hashimoto. Also, our classification is closely related to the spherical space form problem. (4) F-regular (resp. F-regular and Gorenstein) surface singularities are precisely the lrq singularities by finite and linearly reductive subgroup schemes of ${\mathbf{GL}}_2$ (resp. ${\mathbf{SL}}_2$). This generalises results of Klein and Du Val. (5) Lrq singularities in dimension $\geq 4$ are infinitesimally rigid. We classify lrq singularities in dimension $3$ that are not infinitesimally rigid and compute their deformation spaces. This generalises Schlessinger's rigidity theorem to positive and mixed characteristic. Finally, we study Riemenschneider's conjecture in this context, that is, whether lrq singularities deform to lrq singularities.

研究动机与目标

• 对 GL_d 与 SL_d 的有限线性约化子群概形进行分类，使其产生孤立的商奇点。
• 建立 lrq 奇点到特征零的典范提升，将其与特征零情形下的对应物联系起来。
• 通过证明维度 ≥4 时 lrq 奇点具有无穷小刚性，将 Schlessinger 的刚性定理推广至正特征与混合特征。
• 验证 lrq 奇点形变的 Riemannschneider 猜想，特别是 Gorenstein 情形下的情况。
• 将 F-正则与 F-正则且 Gorenstein 的表面奇点表征为分别来自 GL₂ 与 SL₂ 的有限线性约化子群概形。

提出的方法

• 利用有限线性约化群概形到特征零的典范提升，构造 lrq 奇点与其特征零对应物之间的双射。
• 应用极小表示理论与连通-埃泰勒序列，将分类问题约化为具有循环阿贝尔子群的抽象有限群。
• 利用复数与正特征表示之间的专门化映射，关联复数与正特征情形下的群作用。
• 使用 Hirzebruch–Jung 连分数与连分数系数，比较族中各纤维间的奇点类型。
• 通过极小解析解消中的 Picard 群与格点嵌入，比较对偶解消图与退化情形中群概形的阶。
• 应用 F-示性数的下半连续性，以及 klt 与典范奇点的理论，分析形变行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 GL_d 与 SL_d 的有限线性约化子群概形会产生孤立的商奇点？
• RQ2 lrq 奇点能否被典范地提升到特征零？这种提升是否与特征零情形下的对应物构成双射？
• RQ3 维度 ≥4 的 lrq 奇点是否具有无穷小刚性？这是否推广了 Schlessinger 定理？
• RQ4 lrq 奇点能否形变为其他 lrq 奇点？Riemannschneider 猜想在何种条件下成立？
• RQ5 F-正则（相应地，F-正则且 Gorenstein）的表面奇点是否恰好来源于 GL₂（相应地，SL₂）的有限线性约化子群概形？

主要发现

• F-正则的表面奇点恰好来源于 GL₂ 的有限线性约化子群概形。
• F-正则且 Gorenstein 的表面奇点恰好来源于 SL₂ 的有限线性约化子群概形。
• 维度 ≥4 的 lrq 奇点具有无穷小刚性，将 Schlessinger 的刚性定理推广至正特征与混合特征。
• 非刚性 lrq 三倍体的形变空间已被分类，此类奇点稀少且可明确描述。
• Riemannschneider 猜想在 Gorenstein 情形下成立：若中心纤维为 Gorenstein，则 lrq 奇点的形变仍保持 lrq 性质。
• 当 d 为特征 k 的幂时，GL_d,k 的每个有限极小子概形均为循环群，从而对可能的群概形施加了强限制。