[论文解读] Listening to the cohomology of graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文证明，在一维有限单纯复形（图）中，连接拉普拉斯算子 $L$ 的谱通过特征值计数确定贝蒂数 $b_0$ 和 $b_1$：$b_0$ 等于值为 1 的特征值个数，$b_1$ 等于值为 -1 的特征值个数。此外，论文进一步表明，霍奇拉普拉斯算子 $H$ 与 $L - L^{-1}$ 相似，通过一种新颖的谱对应关系，将 $L$ 的谱数据与上同调不变量联系起来。

ABSTRACT

We prove that the spectrum of the Kirchhoff Laplacian H0 of a finite simple Barycentric refined graph and the spectrum of the connection Laplacian L of G determine each other: we prove that L-L^(-1) is similar to the Hodge Laplacian H of G which is in one dimensions the direct sum of the Kirchhoff Laplacian H0 and its 1-form analog H1. The spectrum of a single choice of H0,H1 or H alone determines the Betti numbers b0,b1 of G as well as the spectrum of the other matrices. It follows that b0 is the number of eigenvalues 1 of L and that b1 is the number of eigenvalues -1 of L. For a general abstract finite simplicial complex G, we express the matrix entries g(x,y) = w(x) w(y) X( St(x) cap St(y) ) of the inverse of L using stars St(x)= { z in G | x subset of z } of x and w(x)=(-1)^dim(x) and Euler characteristic X. One can see W+(x)=St(x) and W-(x)={ z in G | z subset x } as stable and unstable manifolds of a simplex x in G and g(x,y) =w(x) w(y) X(W+(x) cap W+(y)) as heteroclinic intersection numbers or curvatures and the identity L g=1 as a collection of Gauss-Bonnet formulas. The homoclinic energy w(x)=X(W+(x) cap W-(x)) by definition adds up to X(G). The matrix M(x,y)=w(x) w(y) X(W-(x) cap W-(y)) is similar to L(x,y)=X(W-(x) cap W-(y)). The sum of the matrix entries of M is the definition of Wu characteristic. For dimension 2 and higher we don't know yet how to recover the Betti numbers from the eigenvalues of the matrix H or from L. So far, it can only be obtained from a collection of block matrices, via the Hodge relations b_k = dim(H_k). A natural conjecture is that for a Barycentric refinement of a complex G, the spectrum of L determines the Betti vector. We know this now in one dimensions.

研究动机与目标

• 确定连接拉普拉斯算子 $L$ 的谱是否在有限单纯复形中编码了贝蒂数等拓扑不变量。
• 研究一维复形中 $L$、其逆 $L^{-1}$ 与霍奇拉普拉斯算子 $H = (d + d^*)^2$ 之间的谱关系。
• 探索 $L$ 的特征值是否可在高维复形中恢复贝蒂数 $b_k$（$k=0,1$ 之外）。
• 将格林函数条目 $g(x,y)$ 用星形 $\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y)$ 的拓扑交集表示，将谱数据与曲率及欧拉示性数联系起来。
• 通过相似性建立 $L$ 与 $H$ 之间的谱对应关系，使得在一维情况下，可从 $L$ 的谱读取上同调不变量。

提出的方法

• 定义连接矩阵 $L(x,y) = 1$ 当且仅当单纯形 $x$ 与 $y$ 相交，否则为 $0$，形成一个幺模矩阵。
• 证明霍奇拉普拉斯算子 $H = (d + d^*)^2$ 通过一个对角共轭矩阵 $R$ 与 $L - L^{-1}$ 相似，其中 $R_{ii} = \omega(x_i) = (-1)^{\dim(x_i)}$。
• 利用星形 $\mathrm{St}(x) = \{ z \in G \mid x \subset z \}$ 将格林函数条目表示为 $g(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y))$，将谱数据与拓扑交集联系起来。
• 定义稳定与不稳定流形 $W^+(x) = \mathrm{St}(x)$ 和 $W^-(x) = \{ z \in G \mid z \subset x \}$，将 $g(x,y)$ 解释为异宿交点数。
• 证明矩阵 $M(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(W^-(x) \cap W^-(y))$ 与 $L$ 相似，且其迹给出吴示性数 $\omega(G)$。
• 证明在一维复形中，$b_0 = \#\{ \lambda = 1 \text{ of } L \}$ 且 $b_1 = \#\{ \lambda = -1 \text{ of } L \}$，实现特征值与贝蒂数的直接关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维单纯复形中，能否从连接拉普拉斯算子 $L$ 的特征值恢复贝蒂数 $b_0$ 和 $b_1$？
• RQ2 $H$ 是否与 $L - L^{-1}$ 相似，且该相似性是否允许从谱中恢复上同调数据？
• RQ3 格林函数条目 $g(x,y)$ 能否用星形交集 $\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y)$ 的欧拉示性数表示？
• RQ4 $L$ 的值为 1 的特征值个数是否等于一维复形中连通分支数 $b_0$？
• RQ5 在 1D 复形中，能否将亏格 $b_1$ 恢复为 $L$ 的值为 -1 的特征值个数？

主要发现

• 在一维复形中，贝蒂数 $b_0$ 和 $b_1$ 分别由 $L$ 的谱中值为 1 和 -1 的特征值个数确定。
• 霍奇拉普拉斯算子 $H$ 通过一个对角矩阵 $R$ 与 $L - L^{-1}$ 相似，其中 $R_{ii} = \omega(x_i)$，建立了谱对应关系。
• 格林函数条目由 $g(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y))$ 给出，将谱数据表达为拓扑交集的形式。
• 矩阵 $M(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(W^-(x) \cap W^-(y))$ 与 $L$ 相似，其迹给出吴示性数 $\omega(G)$。
• 欧拉示性数 $\chi(G)$ 等于 $L$ 的正特征值个数减去负特征值个数，将已知结果推广至一维复形。
• 在高维（$r \geq 2$）情况下，目前尚无法从 $L$ 或 $H$ 的谱中恢复贝蒂数 $b_k$，尽管有猜想认为在巴氏细分下该性质可能成立。