[论文解读] Gauss-Bonnet for multi-linear valuations

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 108被引用 17

一句话总结

该论文为有限简单图上的多线性取值建立了高斯-博内定理与庞加莱-霍普夫定理，证明了高阶Wu特征数（作为欧拉示性数的推广）在图积下具有乘法性，并满足曲率公式。通过构造在无边界的d-图上消失的高阶德恩-索姆维尔取值，证实了格伦鲍姆1970年的猜想，表明这些取值在重心细分下保持不变，并具有顶点层面的曲率分解。

ABSTRACT

We prove Gauss-Bonnet and Poincare-Hopf formulas for multi-linear valuations on finite simple graphs G=(V,E) and answer affirmatively a conjecture of Gruenbaum from 1970 by constructing higher order Dehn-Sommerville valuations which vanish for all d-graphs without boundary. An example of a quadratic valuation is the Wu characteristic w(G) which sums (-1)^(dim(x)+dim(y)) over all intersecting pairs of complete subgraphs x,y of a G. More generally, an intersection number w(A,B) sums (-1)^(dim(x)+dim(y)) over pairs x,y, where x is in A and y is in B and x,y intersect. w(G) is a quadratic Euler characteristic X(G), where X sums (-1)^dim(x) over all complete subgraphs x of G. We prove that w is multiplicative, like Euler characteristic: w(G x H) = w(G) w(H) for any two graphs and that w is invariant under Barycentric refinements. We construct a curvature K satisfying Gauss-Bonnet w(G) = sum K(a). We also prove w(G) = X(G)-X(dG) for Euler characteristic X which holds for any d-graph G with boundary dG. We also show higher order Poincare-Hopf formulas: there is for every multi-linear valuation X and function f an index i(a) such that sum i(a)=X(G). For d-graphs G and X=w it agrees with the Euler curvature. For the vanishing multi-valuations which were conjectured to exist, like for the quadratic valuation X(G) = (V X) Y with X=(1,-1,1,-1,1),Y=(0,-2,3,-4,5) on 4-graphs, discrete 4 manifolds, where V_{ij}(G) is the f-matrix counting the number of i and j-simplices in G intersecting, the curvature is constant zero. For all graphs and multi-linear Dehn-Sommerville relations, the Dehn-Sommerville curvature K(v) at a vertex is a Dehn-Sommerville valuation on the unit sphere S(v). We show X V(G) Y = v(G) Y for any linear valuation Y of a d-graph G with f-vector v(G). This provides examples for the Gruenbaum conjecture.

研究动机与目标

• 将高斯-博内与庞加莱-霍普夫定理从线性推广到有限简单图上的多线性取值。
• 通过构造在无边界的d-图上消失的高阶德恩-索姆维尔取值，解决格伦鲍姆1970年的猜想。
• 证明Wu特征数（作为高阶欧拉示性数）在图积下具有乘法性，并在重心细分下保持不变。
• 为多线性取值定义顶点曲率，并证明其和等于图的取值，推广线性情形。

提出的方法

• 将k-线性取值定义为在k个子图k元组上的多线性映射，要求输出非零时交集非空。
• 引入Wu特征数ω(G)作为交叠单体上的自交数，推广欧拉示性数。
• 通过证明其在单体上成立并利用重心不变性推广，证明乘法性ω(G×H) = ω(G)ω(H)。
• 在每个顶点v处构造曲率K(v)，使得∑K(v) = ω(G)，方法为对交叠单体对进行划分。
• 为任意k-线性取值X和函数f定义庞加莱-霍普夫指标i_{X,f}(v)，使得∑i_{X,f}(v) = X(G)。
• 使用f-矩阵V(G)和线性泛函ψ，将取值表示为⟨χ, V(G), ψ⟩，并通过单位球上的线性代数推导曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 高斯-博内与庞加莱-霍普夫定理能否从线性推广到有限简单图上的多线性取值？
• RQ2 是否存在高阶德恩-索姆维尔取值，使其在无边界的d-图上消失，如格伦鲍姆1970年所猜想？
• RQ3 Wu特征数在图积下是否具有乘法性，且在重心细分下是否保持不变？
• RQ4 能否为多线性取值定义顶点曲率，使其和等于图的取值？
• RQ5 k-线性德恩-索姆维尔取值空间的维数是多少，其与经典德恩-索姆维尔空间的关系如何？

主要发现

• Wu特征数ω(G)满足ω(G) = ∑K(v)，其中K(v)为由单体交集结构导出的顶点曲率，证明了多线性取值的高斯-博内公式。
• 对任意带边界的d-图G，有ω(G) = χ(G) − χ(δG)成立，将欧拉示性数公式推广至高阶不变量。
• 对于k-线性取值X和函数f，庞加莱-霍普夫指标i_{X,f}(v)定义为ω(B⁻_f(v)) − ω(S⁻_f(v))，且满足∑i_{X,f}(v) = X(G)。
• 所有Wu特征数在重心细分下保持不变且具有乘法性：ω(G×H) = ω(G)ω(H)，使其成为斯坦利-雷思纳环上的乘法函数。
• k-线性德恩-索姆维尔取值空间的维数为[(d+1)/2]，与经典空间一致，且由具有不同特征值的特征向量张成。
• 对无边界的d-图，任意德恩-索姆维尔取值具有恒为零的曲率，平坦性等价于X(G) = 0。