[论文解读] Local entropy theory for a countable discrete amenable group action

Wen Huang, Xiangdong Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文为可数离散阿贝尔群作用下的拓扑熵建立了局部变分原理，证明了有限博雷尔覆盖下两种测度熵定义的等价性，并推导出拓扑熵与测度熵元组之间的变分关系。该研究将局部熵理论从 ℤ-作用推广至阿贝尔群作用，表明一致正熵（u.p.e.）与完全正熵（c.p.e.）在有限乘积下保持不变，且在交换群上，极小的拓扑 K-系统是强混合的。

ABSTRACT

In the paper we throw the first light on studying systematically the local entropy theory for a countable discrete amenable group action. For such an action, we introduce entropy tuples in both topological and measure-theoretic settings and build the variational relation between these two kinds of entropy tuples by establishing a local variational principle for a given finite open cover. Moreover, based the idea of topological entropy pairs, we introduce and study two special classes of such an action: uniformly positive entropy and completely positive entropy. Note that in the building of the local variational principle, following Romagnoli's ideas two kinds of measure-theoretic entropy are introduced for finite Borel covers. These two kinds of entropy turn out to be the same, where Danilenko's orbital approach becomes an inevitable tool.

研究动机与目标

• 将此前仅针对 ℤ-作用发展的局部熵理论推广至可数离散阿贝尔群作用。
• 为阿贝尔群作用中的有限开覆盖建立局部变分原理。
• 证明有限博雷尔覆盖下两种测度熵定义的等价性。
• 刻画测度熵元组，并通过变分原理将其与拓扑熵元组关联。
• 研究阿贝尔群作用背景下一致正熵（u.p.e.）与完全正熵（c.p.e.）的性质。

提出的方法

• 为阿贝尔群作用中的有限开覆盖引入局部变分原理，推广了经典结果。
• 为有限博雷尔覆盖定义两种测度熵概念，并利用阿贝尔群特有的深层收敛引理，证明其在不变测度上的上半连续性。
• 通过利用 ℤ-作用下的已知结果及 Danilenko 的轨道方法，证明两种熵定义的等价性。
• 将 Katok 的结果以局部形式适配至阿贝尔群作用，建立熵与度量结构之间的联系。
• 引入拓扑熵元组与测度熵元组，并利用局部变分原理推导其变分关系。
• 将该框架应用于研究 u.p.e. 与 c.p.e. 系统，证明其在有限乘积下保持不变，并得出如 u.p.e. ⇒ c.p.e. 及 c.p.e. ⇒ 存在具有全支撑的不变测度等推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为可数离散阿贝尔群作用建立有限开覆盖的局部变分原理，从而推广 ℤ-作用的情形？
• RQ2 在阿贝尔群设定下，有限博雷尔覆盖的两种测度熵定义是否一致？证明其等价性需要何种技术？
• RQ3 一致正熵（u.p.e.）与完全正熵（c.p.e.）的概念如何推广至阿贝尔群作用？它们暗示了哪些结构性质？
• RQ4 在阿贝尔群作用中，拓扑熵元组与测度熵元组之间存在何种关系？该关系如何由局部变分原理导出？
• RQ5 在交换阿贝尔群上，极小的拓扑 K-系统在何种条件下成为强混合系统？

主要发现

• 为可数离散阿贝尔群作用建立了有限开覆盖的局部变分原理，通过简单论证可恢复经典变分原理。
• 证明了有限博雷尔覆盖下两种测度熵定义的一致性，其依据为 ℤ-作用下的等价性及因本设定下不存在通用的 Rohlin 引理而采用的 Danilenko 轨道方法。
• 刻画了测度熵元组的集合，并作为局部变分原理的推论，导出了拓扑熵元组与测度熵元组之间的变分关系。
• 一致正熵（u.p.e.）与完全正熵（c.p.e.）在有限乘积下保持不变，且在阿贝尔群设定下有 u.p.e. ⇒ c.p.e.。
• 证明了在交换阿贝尔群上，极小的拓扑 K-系统是强混合的，推广了 ℤ-作用下的已知结果。
• 本文证明了 u.p.e. 蕴含温和混合，且 c.p.e. 蕴含存在具有全支撑的不变测度，将经典结果推广至阿贝尔群背景。