[论文解读] Local-global principles for embedding of fields with involution into simple algebras with involution

Gopal Prasad, Andrei S. Rapinchuk|ArXiv.org|Jun 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了在全局域上，带有对合的域嵌入到具有对合的单代数中的局部-整体原则，证明了若在所有位置上均存在局部嵌入，则全局嵌入存在，但矩阵代数上带有正交对合的四元数除法代数例外，此时展示了局部-整体原则的失效。关键贡献在于对嵌入障碍的上同调刻画，以及解决了关于类型 $D_n$（$n$ 为偶数且 $n > 4$）中弱共轭算术群的长期悬而未决问题。结果完成了除类型 $D_4$ 外所有绝对单代数群中弱共轭 Zariski 稠密 $S$-算术子群的分类，并推导出在维度 $4n+7$ 中长度共轭与同谱双曲流形的新结果。附录提供了嵌入定理的伽罗瓦上同调解释。

ABSTRACT

In this paper we prove local-global principles for embedding of fields with involution into central simple algebras with involution over a global field. These should be of interest in study of classical groups over global fields. We deduce from our results that in a group of type D_n, n>4 even, two weakly commensurable Zariski-dense S-arithmetic subgroups are actually commensurable. A consequence of this result is that given an absolutely simple algebraic K-group G of type D_n, n>4 even, K a number field, any K-form G' of G having the same set of isomorphism classes of maximal K-tori as G, is necessarily K-isomorphic to G. These results lead to results about isolength and isospectral compact hyperbolic spaces of dimension 2n-1 with n even.

研究动机与目标

• 建立在全局域上，带有对合的域 $(E, au)$ 嵌入到中心单代数 $(A, au)$ 中的局部-整体原则。
• 解决在绝对单代数群类型不同于 $D_4$ 的情况下，弱共轭 Zariski 稠密 $S$-算术子群分类中的一个缺口。
• 刻画当 $A = M_m(D)$，$D$ 为四元数除法代数，$m$ 为偶数，且 $ au$ 为正交对合时，局部-整体原则失效的情形。
• 通过布饶尔-马宁障碍与多重范数环面，提供嵌入障碍的伽罗瓦-上同调解释。

提出的方法

• 使用伽罗瓦上同调将嵌入 $(E, au) \to (A, au)$ 的存在性转化为在齐性空间 $Y$ 上存在有理点的条件。
• 应用多重范数原理与伽罗瓦上同调的哈塞原理，分析嵌入条件的局部可解性与全局可解性。
• 引入新的上同调不变量 $[C(A, u, heta)]$ 以处理正交对合的非连通情形，此时标准上同调工具失效。
• 使用布饶尔-马宁障碍，并通过显式上同调准则计算其消失，以确定全局嵌入何时存在。
• 将嵌入问题约化为在代数簇 $Y = \{(b,h) \in \mathrm{R}_{F/K}(\mathrm{GL}_1) \times \mathrm{GL}_{1,A} \mid g\varepsilon(b) = \tau(h)h\}$ 上存在 $K$-有理点的存在性。
• 利用群 $\mathscr{G} = H \times \mathrm{R}_{E/K}(\mathrm{GL}_1)$ 在 $Y$ 上的作用，将嵌入问题置于齐性空间的框架下进行解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全局域 $K$ 的所有位置上，若嵌入 $(E, au) \to (A, au)$ 局部存在，其在什么条件下能推出全局存在？
• RQ2 为何在 $A = M_m(D)$，$D$ 为四元数除法代数，$m$ 为偶数，$ au$ 为正交对合时，局部-整体原则会失效？
• RQ3 在该例外情形下，能否通过最大子域的不变量刻画局部-整体原则的失效？
• RQ4 布饶尔-马宁障碍在正交对合情形下在多大程度上控制嵌入的存在性？
• RQ5 能否利用齐性空间的上同调框架统一处理不同类型对合下的嵌入障碍？

主要发现

• 对于辛对合，局部-整体原则无条件成立；当存在非对合嵌入时，仅需检查实位置。
• 在全局域上的矩阵代数的正交对合情形下，当 $A = M_m(D)$，$m$ 为偶数，$D$ 为四元数除法代数时，局部-整体原则失效。
• 在例外情形下，与 $(A, au)$ 局部同构的代数由其在对合下不变的最大子域来区分，表明局部-整体原则的失效。
• 结果完成了在绝对单代数群类型不同于 $D_4$ 的情况下，弱共轭 Zariski 稠密 $S$-算术子群的分类，表明在类型 $D_n$（$n$ 为偶数且 $n > 4$）中，弱共轭蕴含实际共轭。
• 作为推论，本文建立了在维度 $4n+7$（$n \geq 1$）中长度共轭与同谱紧致双曲流形的新结果。
• 附录提供了嵌入定理的伽罗瓦-上同调解释，表明全局嵌入的存在性等价于某些上同调障碍的消失。