[论文解读] Algebra with indefinite involution and its representation in Krein space

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Oct 2, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的代数机制解释了量子场论中不定度规空间的出现：将代数 $\mathcal{A}$ 上的标准对合 $\dagger$ 替换为新的对合 $*$，从而将标准的 $C^*$-代数转化为克雷因空间表示。关键结果是，$({\mathcal{A}},*)$ 的协变表示在新对合下自然地产生克雷因空间表示，解释了非厄米但伪厄米哈密顿量及其复特征值的出现。

ABSTRACT

It is often inevitable to introduce an indefinite-metric space in quantum field theory, for example, which is explained for the sake of the manifestly covariant quantization of the electromagnetic field. We show two more evident mathematical reasons why such indefinite metric appears. The first idea is the replacement of involution on an algebra. For an algebra ${\cal A}$ with an involution $\sdag$ such that a representation of the involutive algebra $({\cal A},\sdag)$ brings an indefinite-metric space, we replace the involution $\sdag$ with a new one * on ${\cal A}$ such that $({\cal A},*)$ is a well-known involutive algebra acting on a representation space with positive definite metric. This explains that non-isomorphic two involutive algebras are transformed each other by the replacement of involution. The second is that a covariant (Hilbert space) representation $({\cal H},π,U)$ of an involutive dynamical system $(({\cal A},*),{\bf Z}_{2},α)$ brings a Krein space representation of the algebra ${\cal A}$ with the replaced involution. For example, we show representations of abnormal CCRs, CARs and pseudo-Cuntz algebras arising from those of standard CCRs, CARs and Cuntz algebras.

研究动机与目标

• 澄清量子场论中不定度规空间的数学起源，特别是在显式协变化电磁场量化等情境中。
• 证明通过在同一代数上将一个对合替换为另一个对合，可产生非同构的对合代数结构，从而统一看似不同的代数结构。
• 建立一个系统性框架，使得在新对合 $*$ 下，标准 $C^*$-代数（如 CCR、CAR、康茨代数）的表示可自然地转化为具有不定度规的克雷因空间表示。
• 表明在某些模型（如李模型）中常见的具有复特征值的哈密顿量，可被理解为在新对合 $*$ 下的非自伴算符，即使其在原始 $\dagger$ 下是自伴的。

提出的方法

• 通过 $({\mathcal{A}},\dagger)$ 的自同构 $\alpha$ 定义代数 $\mathcal{A}$ 上的新对合 $*$，即 $x^* \equiv \alpha(x^\dagger)$，从而将原始的 $\dagger$-对合转换为新的 $*$-对合。
• 证明新对合 $*$ 使得 $({\mathcal{A}},*)$ 成为在具有正定度规的希尔伯特空间上作用的标准 $C^*$-代数。
• 构造关于对合动力系统 $(({\mathcal{A}},*), \mathbb{Z}_2, \alpha)$ 的协变表示 $({\mathcal{H}}, \pi, U)$，其中 $\alpha$ 是一个对合自同构。
• 证明该协变表示通过从 $*$-结构导出的不定埃尔米特形式赋予表示空间，从而诱导出 $({\mathcal{A}}, \dagger)$ 的克雷因空间表示。
• 利用矩阵分析计算在不定度规下二维子空间 $V = \text{Lin}\langle a_A^\dagger\Omega, a_B^\dagger\Omega \rangle$ 上的哈密顿量 $H|_V = \begin{pmatrix} m_A & -g \\ \bar{g} & m_B \end{pmatrix}$ 的特征值，表明其依赖于 $|m_A - m_B|$ 相对于 $2|g|$ 的大小。
• 证明在新对合 $*$ 下，同一哈密顿量 $H$ 在正定度规空间上不是自伴的，但其谱保持不变，从而解释了复特征值的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将一个具有标准 $\dagger$-对合（其表示具有正定度规）的代数，转化为能产生不定度规表示的代数？
• RQ2 对合自同构 $\alpha$ 在将 $C^*$-代数通过新对合 $*$ 转化为克雷因空间表示中起什么作用？
• RQ3 为何在某些量子场论模型（如李模型）中，哈密顿量表现出复特征值，尽管其物理意义明确？
• RQ4 对合替换 $\dagger \to *$ 如何解释场论模型中实特征值与复特征值共存的现象？
• RQ5 标准 CCR、CAR 和康茨代数的表示能否通过替换对合系统性地重新解释为克雷因空间中的表示？

主要发现

• 当 $|m_A - m_B| > 2|g|$ 时，哈密顿量具有两个不同的实特征值，其中一个对应于不定度规下的负范数本征向量，确认了克雷因空间结构的存在。
• 当 $|m_A - m_B| = 2|g|$ 时，哈密顿量具有一个单重实特征值，对应于零范数（中性）本征向量，表明在不定度规下出现退化情况。
• 当 $|m_A - m_B| < 2|g|$ 时，哈密顿量具有两个非实特征值，表明即使算符在 $\dagger$-自伴下成立，其谱在不定度规下仍可变为复数。
• 在二维子空间 $V = \text{Lin}\langle a_A^\dagger\Omega, a_B^\dagger\Omega \rangle$ 上，哈密顿量的矩阵表示为 $H|_V = \begin{pmatrix} m_A & -g \\ \bar{g} & m_B \end{pmatrix}$，当度规为不定时，该表示在标准 $\dagger$-结构下不是厄米特的。
• 在由 $\alpha(a_B) = -a_B$ 定义的新对合 $*$ 下，同一哈密顿量 $H$ 在正定度规空间上不是自伴的，但其谱保持不变，表明不定度规对 $\dagger$-自伴性至关重要，而 $*$ 则恢复了标准的 $C^*$-结构。
• 该构造表明，异常 CCR、CAR 和伪康茨代数可作为标准 CCR、CAR 和康茨代数在新对合 $*$ 下的表示而出现，为不定度规理论提供了统一的代数框架。