[论文解读] Local Hamiltonians with No Low-energy Trivial States

Lior Eldar, Aram W. Harrow|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文构建了一类16-局部哈密顿量家族，其任意基态在限制到99.9999999%的量子比特时仍保持高度纠缠，展示了低能态中鲁棒的量子纠缠。通过将超图乘积应用于经典局部可测试码，作者证明了浅层量子线路中顶点扩张的强下界，为NLTS和qLDPC猜想提供了证据。

ABSTRACT

Ground states of local Hamiltonians can be generally highly entangled: any quantum circuit that generates them (even approximately) must be sufficiently deep to allow coupling (entanglement) between any pair of qubits. Until now this property was not known to be robust - the marginals of such states to a subset of the qubits containing all but a small constant fraction of them may be only locally entangled, and hence approximable by shallow quantum circuits. In this work we construct a family of 16-local Hamiltonians for which any 1-10^{-9} fraction of qubits of any ground state must be highly entangled. This provides evidence that quantum entanglement is not very fragile, and perhaps our intuition about its instability is an artifact of considering local Hamiltonians which are not only local but spatially local. Formally, it provides positive evidence for two wide-open conjectures in condensed-matter physics and quantum complexity theory which are the qLDPC conjecture, positing the existence of good quantum LDPC codes, and the NLTS conjecture due to Freedman and Hastings positing the existence of local Hamiltonians in which any low-energy state is highly-entangled. Our Hamiltonian is based on applying the hypergraph product by Tillich and Zemor to a classical locally testable code. A key tool in our proof is a new lower bound on the vertex expansion of the output of low-depth quantum circuits, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 为NLTS猜想提供证据，该猜想认为局部哈密顿量不存在在局部上平凡的低能态。
• 研究局部哈密顿量基态中的量子纠缠在局部限制下是否脆弱或鲁棒。
• 通过构造具有优良码性质和高纠缠深度的哈密顿量家族，支持qLDPC猜想。
• 作为关键技术工具，建立浅层量子线路输出中顶点扩张的新下界。

提出的方法

• 该构造将Tillich和Zemor的超图乘积应用于经典局部可测试码，以生成量子哈密顿量。
• 所得哈密顿量为16-局部，确保强局部性约束，同时保持码理论性质。
• 推导出低深度量子线路输出中顶点扩张的新下界，这是证明纠缠鲁棒性的核心。
• 通过利用经典码的扩张性质以及超图乘积的结构，确保任何不包含极小部分量子比特的子集均保持高度纠缠。
• 通过证明任何浅层量子线路均无法近似此类大子集上的约化态，确立了纠缠的鲁棒性。
• 该论证依赖于所得复形的谱和组合性质，特别是相互作用图中的扩张性。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部哈密顿量的基态是否即使在限制到几乎所有量子比特时仍保持高度纠缠？
• RQ2 此类态中的量子纠缠在局部截断下是否脆弱，还是对部分观测具有鲁棒性？
• RQ3 对于不仅局部而且空间局部的哈密顿量，NLTS猜想是否成立？
• RQ4 超图乘积构造能否同时产生具有强纠缠和码理论性质的哈密顿量？
• RQ5 浅层量子线路输出中顶点扩张可建立何种下界？

主要发现

• 所构造的哈密顿量为16-局部，其基态即使在限制到任意1 - 10^-9的量子比特时仍保持高度纠缠。
• 这些哈密顿量的任意低能态必须在除可忽略部分外的所有量子比特上保持高度纠缠，支持NLTS猜想。
• 为浅层量子线路输出中顶点扩张建立了新的下界，这是关键技术贡献。
• 该构造为良好量子LDPC码的存在提供了积极证据（qLDPC猜想），因为所得码具有高距离和恒定速率。
• 该方法表明此类系统中的纠缠并非空间局部性的副产品，而是根本上鲁棒的。
• 结果表明量子纠缠比以往认为的更稳定，挑战了其脆弱性的直觉。