[论文解读] Local Shtukas, Hodge-Pink Structures and Galois Representations

Urs Hartl, Wansu Kim|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 11

一句话总结

本文利用局部 shtuka 构造了 Fontaine 的结晶 p 进 Galois 表示理论的函数域类比，证明了 Tate 模函子是完全忠实的，并在平展、de Rham 和结晶上同调实现之间建立了比较同构。此外，本文还构造了等特征结晶形变环，证明了其刚性解析光滑性，并通过 Hodge-Pink 结构与 t-模范畴计算了其维数。

ABSTRACT

We review the analog of Fontaine's theory of crystalline $p$-adic Galois representations and their classification by weakly admissible filtered isocrystals in the arithmetic of function fields over a finite field. There crystalline Galois representations are replaced by the Tate modules of so-called local shtukas. We prove that the Tate module functor is fully faithful. In addition to this étale realization of a local shtuka we discuss also the de Rham and the crystalline cohomology realizations and construct comparison isomorphisms between these realizations. We explain how local shtukas and these cohomology realizations arise from Drinfeld modules and Anderson's $t$-motives. As an application we construct equi-characteristic crystalline deformation rings, establish their rigid-analytic smoothness and compute their dimension.

研究动机与目标

• 开发 Fontaine 的结晶 p 进 Galois 表示理论在函数域中的类比。
• 证明局部 shtuka 上的 Tate 模函子是完全忠实的。
• 在局部 shtuka 的平展、de Rham 和结晶上同调实现之间构造比较同构。
• 将局部 shtuka 与 t-模范畴及 Drinfeld 模式联系起来。
• 构造并分析等特征结晶形变环，证明其刚性解析光滑性，并计算其维数。

提出的方法

• 作者将局部 shtuka 定义为带有 Frobenius 类似自同态 τ 的 t-模范畴的一般化，并将它们的 Tate 模定义为 τ 作用下的不动点。
• 在 Tate 模上引入 Hodge-Pink 结构，并定义了类似于 Fontaine 理论的可接受性与弱可接受性条件。
• 利用基环 A_ε 的结构与 Galois 作用，在局部 shtuka 的平展、de Rham 和结晶实现之间构造了比较同构。
• 将该理论应用于 t-模范畴与 Drinfeld 模式，表明其上同调实现与文献中已知定义一致。
• 利用形变理论构造了结晶形变环 R^≤d_ρ̄，并通过局部环的几何正则性证明了其光滑性。
• 通过关联的 Hodge-Pink 结构与 Galois 群作用，计算了形变环的维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Fontaine 的结晶 p 进 Galois 表示理论适配到函数域设定中？
• RQ2 在上同调实现方面，局部 shtuka、t-模范畴与 Drinfeld 模式之间存在何种关系？
• RQ3 是否存在类似于 p 进 Hodge 理论中的比较同构，将局部 shtuka 的平展、de Rham 与结晶上同调联系起来？
• RQ4 能否构造等特征结晶形变环？它们是否光滑？
• RQ5 形变环 R^≤d_ρ̄ 的维数是多少？它与表示的 Hodge-Pink 结构有何关系？

主要发现

• 从局部 shtuka 到 Galois 表示的 Tate 模函子是完全忠实的，建立了几何对象与 Galois 表示之间的强联系。
• 在局部 shtuka 的平展、de Rham 与结晶上同调实现之间构造了比较同构，推广了 Fontaine 的比较定理。
• 等特征结晶形变环 R^≤d_ρ̄ 被证明是刚性解析光滑的，扩展了 p 进设定中的结果。
• 形变环 R^≤d_ρ̄ 的维数被计算为 d²，与 Hodge-Pink 结构所预期的维数一致。
• 使用扭结局部 shtuka 模型来表示 Galois 表示的等价类，并在 R^≤d_ρ̄ 上构造了作为射影概形的模空间 GR^≤d_ρ̄。
• 该构造推广了 Kisin 的有限平坦群概形模空间，并暗示了 Pappas-Rapoport 系数空间的等特征类比。