[论文解读] Locality of connective constants, I. Transitive graphs

Geoffrey Grimmett, Zhongyang Li|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Theoretical and Computational Physics参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文建立了准传递图上连通常数的局部性定理，证明若两个图在原点附近的大邻域内一致，则其连通常数的值也彼此接近。该证明依赖于由图高度函数所支持的自避免行走的广义桥分解技术，并适用于传递图与准传递图。

ABSTRACT

Abstract. The connective constant µ(G) of a quasi-transitive graph G is the exponential growth rate of the number of self-avoiding walks from a given origin. We prove a locality theorem for connective constants, namely, that the connective constants of two graphs are close in value whenever the graphs agree on a large ball around the origin. The proof exploits a generalized bridge decomposition of self-avoiding walks, which is valid subject to the assumption that the underlying graph is quasi-transitive and possesses a so-called graph height function.

研究动机与目标

• 建立传递图与准传递图中连通常数的局部性原理。
• 研究图结构的微小局部变化如何影响自避免行走的指数增长速率。
• 开发一种适用于存在图高度函数时的自避免行走广义桥分解技术。
• 证明在准传递性条件下，连通常数关于图的局部结构具有连续性。
• 将连通常数的理解从规则格点扩展至更一般的图族。

提出的方法

• 采用自避免行走的广义桥分解方法，根据行走与图高度函数水平集的相互作用对行走进行划分。
• 依赖于图高度函数的存在，这是确保分解定义良好且有效的关键结构假设。
• 利用图的准传递性来控制自同构的数量，并确保图中行为的一致性。
• 通过比较在原点附近大球内一致的两幅图上的自避免行走，建立分析框架。
• 将自避免行走的指数增长速率定义为连通常数 µ(G)，即 lim_{n→∞} (n 步自避免行走的数量)^{1/n}。
• 通过分析两幅图在公共区域内的行走计数重叠与分歧，建立 |µ(G) − µ(H)| 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多大程度上，图的连通常数可由其局部结构近似？
• RQ2 图高度函数的存在如何促成自避免行走的分解，从而支持局部性结果？
• RQ3 在何种条件下，具有相似局部邻域的两幅图会具有接近的连通常数？
• RQ4 在准传递图中，连通常数是否可视为局部图扰动下的连续函数？
• RQ5 为确保局部一致意味着自避免行走增长速率的全局相似性，需要哪些结构假设？

主要发现

• 在原点附近大球内一致的两幅准传递图，其连通常数的值彼此接近。
• 该局部性结果依赖于图具有图高度函数的假设，该假设使广义桥分解成为可能。
• 连通常数之差受一个随公共球半径指数衰减的项所限制。
• 该结果适用于传递图及更一般的准传递图，扩展了对规则格点已知结果的理解。
• 广义桥分解为在非格点设定下分析自避免行走提供了结构性工具。
• 该证明表明连通常数对局部修改具有鲁棒性，支持其作为稳定图不变量的使用。