[论文解读] Localized Hardy Spaces $H^1$ Related to Admissible Functions on RD-Spaces and Applications to Schrödinger Operators

Dachun Yang, Yuan Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 34被引用 15

一句话总结

本文引入了与RD空间上可接受函数 $\rho$ 相关的局部化 Hardy 空间 $H^1_\rho(\mathcal{X})$，建立了极大函数表征、原子分解以及局部化奇异积分的有界性。主要贡献在于将 Hardy 空间理论扩展至满足反 Hölder 不等式的势函数的 Schrödinger 算子，从而在 Heisenberg 群和幂零李群上获得了 Riesz 变换的新有界性结果。

ABSTRACT

Let ${\mathcal X}$ be an RD-space, which means that ${\mathcal X}$ is a space of homogenous type in the sense of Coifman and Weiss with the additional property that a reverse doubling property holds in ${\mathcal X}$. In this paper, the authors first introduce the notion of admissible functions $ρ$ and then develop a theory of localized Hardy spaces $H^1_ρ({\mathcal X})$ associated with $ρ$, which includes several maximal function characterizations of $H^1_ρ({\mathcal X})$, the relations between $H^1_ρ({\mathcal X})$ and the classical Hardy space $H^1({\mathcal X})$ via constructing a kernel function related to $ρ$, the atomic decomposition characterization of $H^1_ρ({\mathcal X})$, and the boundedness of certain localized singular integrals in $H^1_ρ({\mathcal X})$ via a finite atomic decomposition characterization of some dense subspace of $H^1_ρ({\mathcal X})$. This theory has a wide range of applications. Even when this theory is applied, respectively, to the Schrödinger operator or the degenerate Schrödinger operator on $ n$, or the sub-Laplace Schrödinger operator on Heisenberg groups or connected and simply connected nilpotent Lie groups, some new results are also obtained. The Schrödinger operators considered here are associated with nonnegative potentials satisfying the reverse Hölder inequality.

研究动机与目标

• 在 RD 空间上，为与可接受函数 $\rho$ 相关的局部化 Hardy 空间 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 建立理论。
• 为 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 建立极大函数表征和原子分解。
• 通过与 $\rho$ 相关的核函数，研究 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 与经典 Hardy 空间 $H^1(\mathcal{X})$ 之间的关系。
• 利用有限原子分解证明某些局部化奇异积分在 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 上的有界性。
• 将该理论应用于 $\mathbb{R}^n$ 上的 Schrödinger 算子、Heisenberg 群和幂零李群，获得关于 Riesz 变换和热核估计的新结果。

提出的方法

• 在 RD 空间上引入满足反加倍条件和增长条件的可接受函数 $\rho$ 的类。
• 构造一个与 $\rho$ 相关的核函数，以建立 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 与经典 $H^1(\mathcal{X})$ 空间之间的联系。
• 利用可接受函数 $\rho$ 建立 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 的若干极大函数表征。
• 通过 $(1,2)_\rho$-原子和一个稠密子空间的有限原子分解，为 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 建立原子分解。
• 通过将算子分解为 $A_1$、$A_2$ 和 $A_3$ 三类算子，证明 Heisenberg 群上 Riesz 变换 $\nabla \mathcal{L}^{-1/2}$ 从 $H^1_\mathcal{L}(\mathbb{G})$ 到 $L^1(\mathbb{G})$ 的有界性。
• 利用对偶性、Hardy-Littlewood 极大算子和热核估计，控制 $p_1 \in (1,p)$ 时算子 $A_1$、$A_2$ 和 $A_3$ 的 $L^{p_1}$-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 RD 空间上的可接受函数将 Hardy 空间理论扩展至局部化情形？
• RQ2 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 局部化 Hardy 空间与经典 Hardy 空间 $H^1(\mathcal{X})$ 之间存在何种关系？
• RQ3 能否为 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 建立原子分解和极大函数表征？
• RQ4 与 Schrödinger 算子相关的 Riesz 变换在 $\mathcal{X}$ 为 Heisenberg 群或幂零李群时，是否在 $H^1_\mathcal{L}(\mathcal{X})$ 上有界？
• RQ5 通过有限原子分解，局部化奇异积分在 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 上会产生哪些新的有界性结果？

主要发现

• 局部化 Hardy 空间 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 基于可接受函数 $\rho$ 具有多种极大函数表征。
• 与 $\rho$ 相关的核函数精确建立了 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 与经典 Hardy 空间 $H^1(\mathcal{X})$ 之间的关系。
• 通过使用 $(1,2)_\rho$-原子，成功实现了 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 的原子分解，并给出了一个稠密子空间的有限原子分解表征。
• 在 Heisenberg 群 $\mathbb{G}$ 上，Riesz 变换 $\nabla \mathcal{L}^{-1/2}$ 从 $H^1_\mathcal{L}(\mathbb{G})$ 到 $L^1(\mathbb{G})$ 有界，该结论通过将其分解为 $A_1$、$A_2$ 和 $A_3$ 三类算子得以证明。
• $A_1$ 和 $A_2$ 算子有界，满足 $\|A_1(f)\|_{L^{p_1}} \lesssim \|f\|_{L^{p_1}}$ 和 $\|A_2(f)\|_{L^{p_1}} \lesssim \|f\|_{L^{p_1}}$，其中 $p_1 \in (1,p)$。
• $A_3$ 算子从 $H^1_\rho(\mathbb{G})$ 到 $L^1(\mathbb{G})$ 的有界性，由核 $\widetilde{K}$ 满足条件 (K1) 和 (K2)，以及引理 3.3 推出。