[论文解读] Logics of Strong Noncontingency

Jie Fan|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于强非偶然性算子 □ 的新模态逻辑，该算子断言：无论命题的实际真值如何，其必然为真。该逻辑为非正规模态逻辑，通过一种新颖的双生关系（bisimulation）和框架可定义性进行刻画，并在各种框架类上实现完全公理化。研究结果表明，该逻辑在表达力上介于标准模态逻辑与非偶然性逻辑之间。

ABSTRACT

Inspired by Hintikka's treatment of question embedding verbs in [8] and the variations of noncontingency operator, we propose a logic with strong noncontingency operator $\blacktriangle$ as the only primitive modality. A proposition is strongly noncontingent, if no matter whether it is true or false, it does it necessarily; otherwise, it is weakly contingent. This logic is not a normal modal logic, since $\blacktriangle(ϕ oψ) o(\blacktriangleϕ o\blacktriangleψ)$ is invalid. We compare the relative expressivity of this logic and other logics, such as standard modal logic, noncontingency logic, and logic of essence and accident, and investigate its frame definability. Apart from these results, we also propose a suitable notion of bisimulation for the logic of strong noncontingency, based on which we characterize this logic within modal logic and within first-order logic. We also axiomatize the logic of strong noncontingency over various frame classes. Our work is also related to the treatment of agreement operator in [10].

研究动机与目标

• 通过引入强非偶然性的新模态算子，形式化 Hintikka 对疑问句嵌入动词的分析。
• 定义并研究强非偶然性逻辑作为与标准模态逻辑和非偶然性逻辑不同的非正规模态逻辑。
• 为该逻辑开发合适的双生关系及其收缩概念，以刻画其表达力。
• 为该逻辑在各类框架类上提供完整的公理化系统，包括最小系统与扩展系统。
• 比较该新逻辑与非偶然性逻辑、本质逻辑及模态逻辑在表达力上的差异。

提出的方法

• 提出强非偶然性算子 □φ，其语义解释为：若 φ 为真，则 φ 必然为真；若 φ 为假，则 φ 必然为假。
• 通过框架定义 □ 的克里普克语义，其中该算子捕捉在所有真值情况下的全局必然性。
• 为 □-逻辑引入一种新的双生关系概念，该关系保持强非偶然性下公式的真值。
• 证明该逻辑恰好是标准模态逻辑和一阶逻辑中关于该双生关系不变的公式片段。
• 为该逻辑构建希尔伯特风格的公理系统，其最小系统比以往系统更简洁。
• 运用框架可定义性技术，刻画验证特定公理的框架类，包括欧几里得框架的 □5′ 公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 强非偶然性逻辑在表达力上与标准模态逻辑和非偶然性逻辑有何不同？
• RQ2 能否为强非偶然性逻辑定义合适的双生关系，以刻画其不变性性质？
• RQ3 在不同框架类上，哪些框架条件可验证强非偶然性逻辑的公理？
• RQ4 强非偶然性逻辑在表达力上是否强于非偶然性逻辑或本质逻辑？
• RQ5 强非偶然性逻辑的表达力与本质与偶然逻辑相比如何？

主要发现

• 强非偶然性逻辑在表达力上介于标准模态逻辑与非偶然性逻辑之间，其表达力强于后者但弱于前者。
• 该逻辑不是正规模态逻辑，因为公式 □(φ→ψ)→(□φ→□ψ) 不成立，从而将其与标准模态逻辑区分开来。
• 定义了一种针对该逻辑的新双生关系，并证明该逻辑恰好是标准模态逻辑中关于该双生关系不变的公式片段。
• 该逻辑被刻画为一阶逻辑中关于双生关系不变的公式片段，从而确认其可通过双生关系不变性在一阶逻辑中定义。
• 为该逻辑在各类框架类上提供了公理化系统，包括一个比以往工作更简洁的最小系统。
• 本质与偶然逻辑至少与强非偶然性逻辑具有相同的表达力，但反之尚不明确；作者推测前者表达力更强。