[论文解读] Long multiplication by instruction sequences with backward jump instructions

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文展示了n位二进制数的长乘法可以通过使用向后跳转指令的线性长度指令序列来实现，与不使用此类跳转的二次方长度序列相比，显著减小了规模。它表明向后跳转能够实现紧凑、高效的经典算法实现，为停机问题提供了具体实例，并突显了在定义算法等价性时存在的模糊性。

ABSTRACT

For each function on bit strings, its restriction to bit strings of any given length can be computed by a finite instruction sequence that contains only instructions to set and get the content of Boolean registers, forward jump instructions, and a termination instruction. Backward jump instructions are not necessary for this, but instruction sequences can be significantly shorter with them. We take the function on bit strings that models the multiplication of natural numbers on their representation in the binary number system to demonstrate this by means of a concrete example. The example is reason to discuss points concerning the halting problem and the concept of an algorithm.

研究动机与目标

• 证明n位二进制数的长乘法可以使用包含向后跳转指令的指令序列来实现。
• 表明此类指令序列相比不使用向后跳转的序列可显著缩短，实现线性长度而非二次方长度。
• 研究这种效率提升对计算基础问题（包括停机问题和算法概念）的影响。
• 探讨间接寻址是否能进一步缩短此类实现中的指令序列长度。

提出的方法

• 本文使用标准长乘法算法的微小变体，设计一种仅使用布尔寄存器操作、前向和向后跳转以及终止指令的指令序列，以实现乘法计算。
• 使用布尔寄存器建模n位字，并在指令序列框架内定义基本操作（例如，位移位、加法）。
• 使用渐近记号分析指令序列的长度，表明在使用向后跳转时，长度与n呈线性关系。
• 引入索引寻址以进一步缩短序列长度，允许通过辅助寄存器间接引用布尔寄存器。
• 比较引入和不引入间接寻址时优化后指令序列的长度，表明在索引寻址下长度呈对数增长。
• 分析基于程序代数和基本线程代数，为指令序列提供形式化语义。

实验结果

研究问题

• RQ1 n位二进制数的长乘法能否通过使用向后跳转指令的指令序列在时间与空间上均为线性实现？
• RQ2 与不使用向后跳转的指令序列相比，包含向后跳转的指令序列长度有何变化？
• RQ3 间接寻址在多大程度上能进一步缩短乘法实现中指令序列的长度？
• RQ4 此类紧凑指令序列对指令式编程中停机问题有何影响？
• RQ5 该构造如何挑战或澄清形式化计算模型中算法等价性的概念？

主要发现

• 当使用向后跳转指令时，n位二进制数长乘法的函数可通过长度为O(n)的指令序列计算，而无需向后跳转时长度为O(n²)。
• 使用索引寻址时，指令序列长度减少为c·⌊log₂(n)⌋ + c′·⌊log₂(2n−1)⌋ + c′′，其中c < 100，c′ < 10，c′′ < 250，实现对数增长。
• 对于所有n > 5，包含向后跳转和索引寻址的优化指令序列比不使用索引寻址的版本更短。
• 该构造为指令式编程中停机问题的不可判定性提供了具体实例，因为包含向后跳转的指令序列行为无法被完全预测。
• 本文强调了算法等价性尚无普遍接受的定义，表明不同形式化系统对两个指令序列是否计算同一算法存在不同看法。
• 结果表明，向后跳转和间接寻址在低级指令序列模型中实现经典算法的紧凑、高效实现中至关重要。