[论文解读] Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (1878--2014)

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 43被引用 9

一句话总结

这篇全面的综述论文（2014年）综合了关于卢卡斯定理超过130年的研究成果，该定理由组合数学与数论中的基础性结果构成，通过p进制数位展开计算模素数的二项式系数。本文系统地将卢卡斯定理推广至素数幂情形，引入了$p$-卢卡斯性质与双重卢卡斯性质，并建立了与广义二项式系数（如斐波那契二项式系数和高斯$q$-二项式系数）的联系，最终通过形如$(P(X))^{-1/s'}$的有理函数表征了具有$p$-卢卡斯性质的代数形式幂级数。主要贡献在于构建了一个统一框架，将不同组合序列中的同余关系、代数性与$p$-进结构联系起来。

ABSTRACT

In 1878 É. Lucas proved a remarkable result which provides a simple way to compute the binomial coefficient ${n\choose m}$ modulo a prime $p$ in terms of the binomial coefficients of the base-$p$ digits of $n$ and $m$: {\it If $p$ is a prime, $n=n_0+n_1p+\cdots +n_sp^s$ and $m=m_0+m_1p+\cdots +m_sp^s$ are the $p$-adic expansions of nonnegative integers $n$ and $m$, then \begin{equation*} {n\choose m}\equiv \prod_{i=0}^{s}{n_i\choose m_i}\pmod{p}. \end{equation*}} The above congruence, the so-called {\it Lucas' theorem} (or {\it Theorem of Lucas}), plays an important role in Number Theory and Combinatorics. In this article, consisting of six sections, we provide a historical survey of Lucas type congruences, generalizations of Lucas' theorem modulo prime powers, Lucas like theorems for some generalized binomial coefficients, and some their applications. In Section 1 we present the fundamental congruences modulo a prime including the famous Lucas' theorem. In Section 2 we mention several known proofs and some consequences of Lucas' theorem. In Section 3 we present a number of extensions and variations of Lucas' theorem modulo prime powers. In Section 4 we consider the notions of the Lucas property and the double Lucas property, where we also present numerous integer sequences satisfying one of these properties or a certain Lucas type congruence. In Section 5 we collect several known Lucas type congruences for some generalized binomial coefficients. In particular, this concerns the Fibonomial coefficients, the Lucas $u$-nomial coefficients, the Gaussian $q$-nomial coefficients and their generalizations. Finally, some applications of Lucas' theorem in Number Theory and Combinatorics are given in Section 6.

研究动机与目标

• 提供1878年至2014年期间卢卡斯型同余关系及其推广的全面历史与技术综述。
• 统一并系统化模素数幂的卢卡斯定理理论，包括沃尔斯滕霍尔姆型同余关系及其变体。
• 为整数与有理数序列定义并分析$p$-卢卡斯性质与双重卢卡斯性质。
• 将卢卡斯型定理推广至广义二项式系数，如斐波那契二项式系数、卢卡斯$u$-二项式系数与高斯$q$-二项式系数。
• 表征在无穷多个素数$p$下具有$p$-卢卡斯性质的$\mathbb{Q}(X)$上代数形式幂级数。

提出的方法

• 使用整数$n = \sum n_i p^i$和$m = \sum m_i p^i$的$p$-进展开，表达$\binom{n}{m} \equiv \prod \binom{n_i}{m_i} \pmod{p}$，即卢卡斯定理的核心。
• 通过沃尔斯滕霍尔姆型同余关系及模素数幂的卢卡斯定理变体，将该定理推广至模$p^k$。
• 通过同余关系$a_{pn+j} \equiv a_n a_j \pmod{p}$（其中$0 \leq j < p$）定义序列$(a_n)$的$p$-卢卡斯性质。
• 利用$p$-进展开表征具有$p$-卢卡斯性质的序列：$a_n \equiv \prod a_{n_i} \pmod{p}$。
• 将$p$-卢卡斯性质应用于形式幂级数$F(X) = \sum a_n X^n$，以研究其在$\mathbb{Q}(X)$上的代数性。
• 使用代数几何与$p$-进分析证明：一个形式幂级数在$\mathbb{Q}(X)$上代数当且仅当其满足$F(X) = (P(X))^{-1/s'}$，其中$P(X)$为有理系数多项式，次数有界且$P(0) = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 卢卡斯定理如何推广至模素数幂？其推广形式具有何种结构性质？
• RQ2 哪些条件可表征在无穷多个素数$p$下满足$p$-卢卡斯性质的序列？
• RQ3 哪些广义二项式系数（如斐波那契二项式系数、高斯$q$-二项式系数）满足卢卡斯型同余关系？
• RQ4 在何种条件下，具有有理系数的形式幂级数在$\mathbb{Q}(X)$上代数且与$p$-卢卡斯性质相容？
• RQ5 在所有充分大的素数$p$下，既代数又满足$p$-卢卡斯性质的形式幂级数的精确代数结构是什么？

主要发现

• 中心二项式系数满足$p$-卢卡斯性质：对于$n = \sum n_i p^i$，有$\binom{2n}{n} \equiv \prod \binom{2n_i}{n_i} \pmod{p}$。
• 形式幂级数$F(X) = \sum a_n X^n$在$\mathbb{Q}(X)$上代数且对所有足够大的素数$p \equiv 1 \pmod{s}$具有$p$-卢卡斯性质，当且仅当$F(X) = (P(X))^{-1/s'}$，其中$P(X)$为次数不超过$s'$的有理系数多项式且满足$P(0) = 1$。
• 当$s = 2$时，形式幂级数在$\mathbb{Q}(X)$上代数且对所有足够大的素数$p$具有$p$-卢卡斯性质，当且仅当$F(X) = (P(X))^{-1/2}$，其中$P(X)$为次数不超过2的有理系数多项式且满足$P(0) = 1$。
• 序列$(a_n)$的$p$-卢卡斯性质等价于：对所有具有$p$-进展开$n = \sum n_i p^i$的$n$，有$a_n \equiv \prod a_{n_i} \pmod{p}$。
• 中心二项式系数序列$\binom{2n}{n}$满足$p$-卢卡斯性质，这为$\sum \binom{2n}{n}^t X^n$在$t \geq 2$时的超越性提供了代数证明基础。
• 若$\mathbb{Z}_p$-值族$A(\mathbf{n})$满足$A(\mathbf{v} + \mathbf{n}p) \equiv A(\mathbf{v})A(\mathbf{n}) \pmod{p\mathbb{Z}_p}$，对所有$\mathbf{n} \in \mathbb{N}^d$与$\mathbf{v} \in \{0,\dots,p-1\}^d$成立，则其满足$p$-卢卡斯性质，且该条件对阶乘比序列具有有效判定准则。