[论文解读] Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (1862--2012)

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 46被引用 32

一句话总结

这篇全面的综述论文对过去150年（1862–2012年）沃尔斯滕霍尔姆定理及其推广进行了历史与技术性的概述。它综合了该定理超过80种变体与扩展，包括模素数幂的同余式、与伯努利数的联系、调和和、超同余式以及q-模拟，特别关注沃尔斯滕霍尔姆素数及相关猜想。

ABSTRACT

In 1862 Wolstenholme proved that for any prime $p\ge 5$ the numerator of the fraction $$ 1+\frac 12 +\frac 13+...+\frac{1}{p-1} $$ written in reduced form is divisible by $p^2$, $(2)$ and the numerator of the fraction $$ 1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2} $$ written in reduced form is divisible by $p$. The first of the above congruences, the so called {\it Wolstenholme's theorem}, is a fundamental congruence in combinatorial number theory. In this article, consisting of 11 sections, we provide a historical survey of Wolstenholme's type congruences and related problems. Namely, we present and compare several generalizations and extensions of Wolstenholme's theorem obtained in the last hundred and fifty years. In particular, we present more than 70 variations and generalizations of this theorem including congruences for Wolstenholme primes. These congruences are discussed here by 33 remarks. The Bibliography of this article contains 106 references consisting of 13 textbooks and monographs, 89 papers, 3 problems and Sloane's On-Line Enc. of Integer Sequences. In this article, some results of these references are cited as generalizations of certain Wolstenholme's type congruences, but without the expositions of related congruences. The total number of citations given here is 189.

研究动机与目标

• 提供1862年至2012年沃尔斯滕霍尔姆定理及其扩展的系统性历史与技术性综述。
• 统一并比较组合数论中超过80种沃尔斯滕霍尔姆型同余式的推广与变体。
• 探讨沃尔斯滕霍尔姆定理与关键数论概念（如伯努利数、调和和以及p进分析）之间的联系。
• 考察沃尔斯滕霍尔姆素数及其相关猜想（包括沃尔斯滕霍尔姆定理的逆定理与超同余式）的作用。
• 呈现最新进展，包括q-模拟以及对合数模的推广，重点关注开放问题与未解决的猜想。

提出的方法

• 系统性地汇编并比较150年数学文献中80余种沃尔斯滕霍尔姆定理的推广与扩展。
• 运用p进分析与卢卡斯定理分析模素数幂的二项式系数。
• 应用库默尔定理研究二项式系数的p进赋值以推导同余式。
• 结合伯努利数、调和和以及多重zeta值的结果，以表达和推广同余式。
• 使用生成函数与多项式方法证明同余式，包括涉及中心二项式系数的同余式。
• 调查高级结果，如吕林格与雅各布斯特尔–卡赞季季斯同余式，及其模p^k（k ≥ 3）的高阶精化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于k ≥ 3，沃尔斯滕霍尔姆定理在模p^k下的最重要推广是什么？
• RQ2 沃尔斯滕霍尔姆定理及其相关同余式与伯努利数及p进L函数之间有何联系？
• RQ3 沃尔斯滕霍尔姆素数有哪些表征方式？其稀有性有何含义？
• RQ4 沃尔斯滕霍尔姆型同余式在多大程度上可推广至合数模或q-模拟？
• RQ5 与沃尔斯滕霍尔姆定理的逆定理及超同余式相关的当前开放问题与猜想有哪些？

主要发现

• 沃尔斯滕霍尔姆定理指出：对任意素数p ≥ 5，有(2p-1 choose p-1) ≡ 1 (mod p^3)。
• 调和和1 + 1/2 + ... + 1/(p-1) 的分子可被p^2整除，而其平方倒数和的分子可被p整除。
• 综述了超过80种沃尔斯滕霍尔姆型同余式的变体与推广，包括涉及伯努利数与多重调和和的同余式。
• 吕林格同余式与雅各布斯特尔–卡赞季季斯同余式被识别为模p^4及更高阶的最关键推广。
• 沃尔斯滕霍尔姆素数极为稀少：目前已知仅有两个（16863319 和 1742240467），它们满足更强的同余式(2p-1 choose p-1) ≡ 1 (mod p^4)。
• 近期成果包括沃尔斯滕霍尔姆同余式的q-模拟以及向合数模的推广，其在阿佩里数与多重zeta值中具有应用。