[论文解读] Möbius disjointness for topological models of ergodic systems with discrete spectrum

Wen Huang, Zhiren Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用 19

一句话总结

本文通過利用环面旋转逼近與短轨道段分解，建立了 Möbius 不相交性的判據，從而證明了所有具有離散譜的遍歷系統的拓撲模型的 Sarnak Möbius 不相交性猜想。關鍵結果確認了該猜想對所有此類系統成立，包括緊阿貝爾群上的極小旋轉與有限週期系統。

ABSTRACT

We provide a criterion for a point satisfying the required disjointness condition in Sarnak's Möbius Disjointness Conjecture. As a direct application, we have that the conjecture holds for any topological model of an ergodic system with discrete spectrum.

研究动机与目标

• 建立具有離散譜的拓撲動力系統中 Möbius 不相交性的通用判據。
• 解決關於 Sarnak 的 Möbius 不相交性猜想是否對所有具有離散譜的遍歷系統的拓撲模型成立的開放問題。
• 將先前關於 nilsequence 和旋轉的結果推廣至一般拓撲模型，包括非極小與非同構擴張。
• 提供一個適用於具有可數多個遍歷 invariant 測度、每種均具有離散譜的系統的統一證明框架。
• 正面回答 Downarowicz 和 Glasner 提出的關於有理離散譜系統的拓撲模型的問題。

提出的方法

• 通過單位分解，將系統上的連續觀測函數近似為僅在有限多個環面旋轉上具有緊支集的函數。
• 將軌道段分解為短區間，使得動力系統可在這些區間內以環面上的旋轉來建模。
• 利用離散譜的結構，將每個環面分量上的觀測函數表示為有限三角多項式。
• 應用質數定理與 Möbius 函數指數和的消去估計，以控制短區間平均值。
• 結合近似誤差、軌道分解誤差與 Möbius 和消去的總體平均值進行控制。
• 利用 Möbius 函數對無理頻率指數序列具有消去性質的事實，依賴於 μ 的非偽造性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sarnak 的 Möbius 不相交性猜想是否對所有具有離散譜的遍歷系統的拓撲模型成立？
• RQ2 能否為具有可數多個遍歷 invariant 測度、每種均具有離散譜的系統建立 Möbius 不相交性的通用判據？
• RQ3 該猜想是否對非極小或非唯一遍歷的拓撲模型（如有限週期系統的擴張）成立？
• RQ4 能否證明具有有理離散譜的系統（如兩點週期系統）的 Möbius 不相交性？
• RQ5 在具有離散譜的拓撲模型背景下，如何利用 Möbius 函數的消去性質？

主要发现

• Möbius 不相交性猜想對所有具有離散譜的遍歷系統的拓撲模型成立，從而確認了一個長期存在的開放問題。
• 該猜想對任何具有可數多個遍歷 invariant 測度、每種均具有離散譜的 TDS（拓撲動力系統）均得到驗證。
• 證明建立了 f(T^n x)μ(n) 平均值的定量界，顯示其以 O((log N)^{-κ₀} + (log log L)/(log L)) 的形式衰減，其中參數選擇合適。
• 結果推廣了先前關於 nilsequence 和旋轉的工作，包括 Davenport 定理與算術級數中的質數定理。
• 該方法確認了兩點週期系統及其拓撲擴張的猜想，回答了 Downarowicz 和 Glasner 提出的問題。
• 證明技術適用於非極小系統與標準模型的非同構擴張，顯示 Möbius 不相交性性質具有強健性。