[论文解读] Maslov's complex germ and the Weyl--Moyal algebra in quantum mechanics and in quantum field theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2007

advanced mathematical theories参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于Weyl–Moyal代数的Maslov复胚方法与微扰量子场论的重新表述，用Weyl有序算子替代标准（伪）微分算子，用Moyal $*$-积替代传统算子乘法。该框架简化了量子力学中的渐近解，并为量子场论中的S矩阵与费曼图提供了自然的、非微扰的解释，其中$*$-积对应于Fock空间中的算子复合与正常排序。

ABSTRACT

The paper is a survey of some author's results related with the Maslov--Shvedov method of complex germ and with quantum field theory. The main idea is that many results of the method of complex germ and of perturbative quantum field theory can be made more simple and natural if instead of the algebra of (pseudo)differential operators one uses the Weyl algebra (operators with Weyl symbols) with the Moyal *-product. Section 1, devoted to quantum mechanics, contains a closed mathematical description of the Maslov--Shvedov method in the theory of Schrodinger equation, including the method of canonical operator. In particular, it contains a new simple definition of the Maslov index modulo 4. Section 2, devoted to quantum field theory, contains a logically self-consistent exposition of the main results of perturbative quantum field theory not using the subtraction of infinities from the quantum Hamiltonian of free field and normal ordering of operators. It also contains a result (dynamical evolution in quantum field theory in quasiclassical approximation) close to the Maslov--Shvedov quantum field theory complex germ.

研究动机与目标

• 通过使用Weyl有序算子，简化并澄清量子力学中复胚方法与规范算子的方法。
• 通过使用无限维Weyl代数，消除微扰量子场论中对正规排序与无穷大减法的需求。
• 通过复胚方法在一点处对模4的Maslov指标提供自然的、几何的解释。
• 在Weyl代数的$*$-积与Fock空间中算子复合之间建立直接对应关系，其中可交换积对应于正常有序积。
• 在不依赖绝热开关或重整化减法的前提下，基于Weyl代数元素$P(g)$的因果性与幺正性条件，定义量子场论中的动力学演化与S矩阵。

提出的方法

• 使用Weyl微积分，通过Weyl符号表示量子算子，确保经典可观测量的对称（Weyl有序）量子化。
• 应用Moyal $*$-积以在Weyl代数中编码算子复合，替代非交换算子乘法。
• 在无限维构造Weyl代数以描述场算子，其中$*$-积对应于Fock空间中算子的复合。
• 使用射影群的Weil表示描述Maslov–Shvedov波包沿经典轨迹的传播。
• 将S矩阵导出为Fock空间中的算子$S(g)$，通过将Weyl代数元素$P(g)$中的$D(x)$替换为费曼传播器$D_c(x)$得到。
• 在Weyl代数中实现减法程序，该程序可直接映射到Fock空间中的重整化程序，同时保持因果性与幺正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Weyl代数简化复胚方法并为其在量子力学中提供自然的几何解释？
• RQ2 Weyl–Moyal代数在微扰量子场论中如何消除对正规排序与无穷大减法的需求？
• RQ3 Weyl代数中的$*$-积如何对应于Fock空间中的算子复合与正常排序？
• RQ4 是否可直接从Weyl代数导出$\varphi^4$模型中的S矩阵，而无需使用绝热开关或重整化？
• RQ5 Weyl代数元素$P(g)$的自然代数条件（洛伦兹不变性、幺正性、因果性）在量子场论中对应于哪些物理要求？

主要发现

• 当使用Weyl序时，复胚方法中的传输方程自然地描述了沿经典轨迹的半形式传输。
• 模4的Maslov指标通过一点处的复胚方法自然定义，提供了文献中此前未见的、内在的几何解释。
• 通过将$D(x)$替换为$D_c(x)$、$*$-积替换为算子复合，从Weyl代数元素$P(g)$构造的S矩阵与Bogolyubov–Shirkov S矩阵完全一致。
• Weyl代数中的因果性条件对应于物理要求：S矩阵仅依赖于相互作用的过去历史，从而保证了相对论性因果性。
• Weyl代数中单位性条件$P(g)*\overline{P(g)}=1$对应于Fock空间中S矩阵的幺正性。
• Weyl代数中的减法程序精确映射到Fock空间中的重整化减法，表明该形式系统通过代数方式嵌入了重整化，避免了人为的重整化处理。