[论文解读] Gaussian transform of the Weil representation

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文表征了在施瓦茨空间与温和分布中，对称群的韦伊表示在高斯积分变换下的像。它表明该变换将 $ S(\mathbb{R}^n) $ 与 $ S'(\mathbb{R}^n) $ 上的韦伊表示映射为西格尔上半空间上线丛的全纯截面，从而以满足特定变换律的解析函数形式，显式实现了该表示。

ABSTRACT

A description is given of the image of the Weil representation of the symplectic group in the Schwartz space and in the space of tempered distributions under the Gaussian integral transform. We also discuss the problem of infinite dimensional generalization of the Weil representation in the Schwartz space, in order to construct appropriate quantization of free scalar field.

研究动机与目标

• 为使用无穷维空间上的分布泛函来实现自由标量场的量子化，提供一个数学框架。
• 将有限维的韦伊表示推广至无穷维，特别是在类空曲面量子化的背景下。
• 识别出一个合适的泛函空间（类似于施瓦茨空间），该空间支持无穷维辛群的作用，并包含高斯泛函。
• 理解高斯泛函与表示理论中施瓦茨群的向量 1 的作用。
• 探索利用分布泛函与高斯变换构造相对论不变场论的福克型空间的可能性。

提出的方法

• 对施瓦茨空间 $ S(\mathbb{R}^n) $ 中的函数应用高斯积分变换，将 $ \psi(x) $ 映射为 $ u(Z) = \int \overline{\psi(x)} e^{i/2 \sum Z_{jk} x_j x_k} dx $。
• 利用 $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $ 的韦伊表示及其马蒂普莱克覆盖 $ \mathrm{Mp}(2n,\mathbb{R}) $ 的理论，重点关注其在 $ S(\mathbb{R}^n) $ 与 $ S'(\mathbb{R}^n) $ 上的作用。
• 表征变换的像为西格尔上半空间 $ \mathcal{SG} $ 上线丛的全息截面，满足特定微分方程。
• 通过施瓦茨群的作用，建立变换后空间与 $ \mathcal{SG} $ 上全纯函数空间之间的同构。
• 通过 $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $-轨道在 $ \mathcal{SG} $ 闭包上的 $ C^\infty $-收敛性，分析变换后空间的拓扑。
• 提出一个无穷维推广，使用核空间 $ V $、空间 $ V \oplus V^* $ 以及弗雷德霍姆行列式，定义辛群的中心扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 在施瓦茨空间 $ S(\mathbb{R}^n) $ 与温和分布 $ S'(\mathbb{R}^n) $ 中，$ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $ 的韦伊表示在高斯积分变换下的像是什么？
• RQ2 高斯变换能否用于构造一个适合场论量子化的、自然的无穷维韦伊表示类比？
• RQ3 施瓦茨空间在高斯积分变换下的拓扑如何？其与西格尔上半空间中 $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $-轨道上的 $ C^\infty $-收敛性有何关系？
• RQ4 是否存在一个关于 $ S $ 与 $ S' $ 之间 $ L^2 $-范数或配对的规范不变公式，经由高斯变换？
• RQ5 Gelfand–Shilov 函数空间 $ S_{1/2}^{1/2}(\mathbb{R}^n) $ 是否对应于在马蒂普莱克作用下 $ L^2 $ 中的解析向量空间？

主要发现

• 高斯变换将 $ S(\mathbb{R}^n) $ 上的韦伊表示映射到西格尔上半空间 $ \mathcal{SG} $ 上线丛 $ \mu^* $ 的全纯截面空间，这些截面满足特定微分方程。
• 在高斯变换下，$ S'(\mathbb{R}^n) $ 的像是与线丛 $ W \otimes \mu^* $ 的全纯截面空间同构，其中 $ W $ 为权丛。
• 该变换保持马蒂普莱克群 $ \mathrm{Mp}(2n,\mathbb{R}) $ 的作用，且所得空间携带该群的酉表示。
• 施瓦茨空间 $ S(\mathbb{R}^n) $ 的拓扑被传递至全纯截面的 $ C^\infty $-拓扑，收敛性意味着在 $ \mathcal{SG} $ 闭包中 $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $-轨道上的一致收敛。
• 在 $ S'(\mathbb{R}^n) $ 中的向量 1 对应于西格尔上半空间上为常值的全纯截面，在表示中起着特殊作用。
• 该构造的无穷维推广无法为相对论不变的薛定谔方程（1）提供解，因为克莱因-戈登方程的演化算子不在无穷维辛群中。