[论文解读] Matrices of Optimal Tree-Depth and Row-Invariant Parameterized Algorithm for Integer Programming

Timothy F. N. Chan, Jacob W. Cooper+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Constraint Satisfaction and Optimization被引用 4

一句话总结

该论文证明了由整数规划约束矩阵列定义的拟阵的分支深度，即通过行变换可实现的最小对偶树深度，从而实现了以分支深度和系数大小为参数的整数规划的固定参数可满足性算法。核心贡献是提出了一种行不变的参数化算法，可计算出具有最优树深度且有界条目复杂度的等价矩阵。

ABSTRACT

A long line of research on fixed parameter tractability of integer programming culminated with showing that integer programs with n variables and a constraint matrix with tree-depth d and largest entry Δ are solvable in time g(d,Δ) poly(n) for some function g, i.e., fixed parameter tractable when parameterized by tree-depth d and Δ. However, the tree-depth of a constraint matrix depends on the positions of its non-zero entries and thus does not reflect its geometric structure. In particular, tree-depth of a constraint matrix is not preserved by row operations, i.e., a given integer program can be equivalent to another with a smaller dual tree-depth. We prove that the branch-depth of the matroid defined by the columns of the constraint matrix is equal to the minimum tree-depth of a row-equivalent matrix. We also design a fixed parameter algorithm parameterized by an integer d and the entry complexity of an input matrix that either outputs a matrix with the smallest dual tree-depth that is row-equivalent to the input matrix or outputs that there is no matrix with dual tree-depth at most d that is row-equivalent to the input matrix. Finally, we use these results to obtain a fixed parameter algorithm for integer programming parameterized by the branch-depth of the input constraint matrix and the entry complexity. The parameterization by branch-depth cannot be replaced by the more permissive notion of branch-width.

研究动机与目标

• 为解决约束矩阵的对偶树深度在行变换下不保持不变的问题，该问题可能掩盖几何结构。
• 识别一种行不变参数，以更好地反映整数规划的内在几何结构。
• 基于此不变参数，设计整数规划的固定参数可满足性算法。
• 设计一种算法，计算行等价矩阵，使其具有最小对偶树深度且条目复杂度有界。
• 证明分支深度是固定参数可满足性的正确参数，因为其无法被分支宽度替代。

提出的方法

• 将拟阵的分支深度定义为所有行等价矩阵中对偶树深度的最小值。
• 利用拟阵对偶性和深度分解，通过拟阵的主深度分解表征分支深度。
• 使用有限域 Fq 表示拟阵，其中素数 q 由 d 和 K 的函数有界，以保证同构性。
• 应用克莱默法则，对有限域中表示的条目复杂度进行有界，确保有理向量可缩放为整数向量。
• 利用原拟阵与有限域中拟阵之间的同构性，转移深度分解并计算扩展深度分解。
• 利用扩展深度分解，构造一个条目复杂度有界且对偶树深度最优的行等价矩阵 A′。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过行变换最小化约束矩阵的对偶树深度？该最小值在行等价下是否保持不变？
• RQ2 是否存在一种行不变参数，能比对偶树深度更好地反映整数规划的几何结构？
• RQ3 能否基于此不变参数设计整数规划的固定参数可满足性算法？
• RQ4 分支深度是否是固定参数可满足性的最紧参数？或者更宽松的参数如分支宽度是否已足够？
• RQ5 能否在保持有界条目复杂度的前提下，高效计算出最小对偶树深度的矩阵？

主要发现

• 所有行等价矩阵中对偶树深度的最小值等于约束矩阵列所定义拟阵的分支深度。
• 存在一种固定参数算法，可计算出具有最小对偶树深度且条目复杂度由 d 和 K 的函数有界的行等价矩阵。
• 当以分支深度 d∗ 和系数大小 ∆ 为参数时，整数规划是固定参数可满足的，运行时间为 g(d∗, ∆)poly(n)。
• 计算所得的行等价矩阵 A′ 的条目复杂度有界于 O(d²²²ᵈ log K)，其中 K 为原矩阵中条目的最大绝对值。
• 分支深度无法被分支宽度替代，因为当分支宽度和 ∆ 有界时，整数规划仍为 NP-难。
• 该算法能正确识别分支深度是否超过给定的 d，否则在有限域上计算出深度分解，其深度满足 bd(M) = bd(M′)。