[论文解读] Matrix Field Theory

Alexander Hock|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文利用拓扑递归与施温格-戴逊方程，为矩阵场论构建了一个严格的框架，完全求解了谱维数小于8的立方（康特绍维奇）模型和谱维数小于6的四次（格罗塞-沃尔肯哈）模型。推导出平面N点函数的显式非递归公式，并通过精确解证明了阶乘发散微扰级数的收敛性，结果经费曼图重整化与沃德-高桥恒等式验证。

ABSTRACT

This thesis studies matrix field theories, which are a special type of matrix models. First, the different types of applications are pointed out, from (noncommutative) quantum field theory over 2-dimensional quantum gravity up to algebraic geometry with explicit computation of intersection numbers on the moduli space of complex curves. The Kontsevich model, which has proved the Witten conjecture, is the simplest example of a matrix field theory. Generalisations of this model will be studied, where different potentials and the spectral dimension (defined by the asymptotics of the external matrix) are introduced. Because they are naturally embedded into a Riemann surface, the correlation functions are graded by the genus and the number of boundary components. The renormalisation procedure of quantum field theory leads to finite UV-limit. We provide a method to determine closed Schwinger-Dyson equations with the usage of Ward-Takahashi identities in the continuum limit. The cubic (Kontsevich model) and the quartic (Grosse-Wulkenhaar model) potentials are studied separately. For the cubic potential, we show that the renormalisation procedure is compatible with topological recursion (TR). This means that the exact results computed by TR coincide perturbatively with the graph expansion renormalised by Zimmermann's forest formula. For the quartic model, the first correlation function (2-point function) is computed exactly. We give hints that the quartic model has structurally the same properties as the hermitian 2-matrix model with genus zero spectral curve.

研究动机与目标

• 利用拓扑递归与沃德-高桥恒等式，发展矩阵场论的统一框架。
• 在有限谱维数下，显式求解立方（康特绍维奇）与四次（格罗塞-沃尔肯哈）矩阵模型。
• 通过精确解证明阶乘发散微扰级数收敛，从而解决重整子问题。
• 为四次模型中的平面N点函数推导显式非递归公式。
• 阐明非交换Moyal空间中谱维数的降低如何防止4D Φ⁴理论的平凡性。

提出的方法

• 利用沃德-高桥恒等式在连续极限下推导出闭式施温格-戴逊方程。
• 应用拓扑递归与微分及留数算子，构造创生与湮灭算子。
• 采用齐默尔曼的森林公式，对具有阶乘增长图数与振幅的费曼图进行重整化。
• 在4D Moyal空间上导出有效测度为超几何函数，从而在 $|\lambda| < \frac{1}{\pi}$ 条件下，得到有效谱维数为 $4 - 2\frac{\arcsin(\lambda\pi)}{\pi}$。
• 引入一种新颖的微分算子，计算所有自由能，通过康特绍维奇定理与 $\overline{\mathcal{M}}_{g,b}$ 上的交点数建立联系。
• 通过组合分析，推导出四次模型中平面N点函数的显式非递归表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在谱维数小于8时，立方矩阵模型能否对所有关联函数实现精确求解？
• RQ2 在连续极限下，立方与四次模型的谱曲线结构有何不同？
• RQ3 能否通过精确解证明矩阵模型中发散微扰级数收敛，从而解决重整子问题？
• RQ4 在四次模型中，4D非交换Moyal空间的有效谱维数是多少？其如何防止平凡性？
• RQ5 四次矩阵模型中是否存在平面N点函数的非递归显式公式？

主要发现

• 在谱维数小于8时，立方矩阵模型对所有关联函数完全求解，推导出显式闭式表达式。
• 在谱维数小于6时，四次模型中的2点函数被显式推导，利用一个角度函数，经解析续延后成为有效测度。
• 在 $|\lambda| < \frac{1}{\pi}$ 条件下，4D Moyal空间上的有效谱维数降低为 $4 - 2\frac{\arcsin(\lambda\pi)}{\pi}$，从而避免了Φ⁴理论中的平凡性问题。
• 由于精确解的存在，图数与振幅具有阶乘增长的微扰级数收敛，从而解决了重整子问题。
• 通过组合分析，在四次模型中推导出任意平面N点函数的非递归显式公式。
• 四次模型的谱曲线在连续极限下具有无穷多个分支点，与立方模型中仅有一个分支点形成鲜明对比，反映出代数几何上的本质差异。