[论文解读] Matrix product operators for symmetry-protected topological phases

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Quantum many-body systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出一种矩阵乘积算符（MPO）形式化方法，用于分类投影纠缠对态（PEPS）中的对称保护拓扑（SPT）序相，表明通过群元素标记的MPO将局域对称性编码为局部张量的虚对称性。通过MPO集合变形的拓扑障碍，推导出玻色子SPT相的分类，恢复了群上同调分类，并实现了对SPT相变的分析。

ABSTRACT

Projected entangled pair states (PEPS) provide a natural description of the ground states of gapped, local Hamiltonians in which global characteristics of a quantum state are encoded in properties of local tensors. We show that on-site symmetries, as occurring in systems exhibiting symmetry-protected topological (SPT) quantum order, can be captured by a virtual symmetry of the tensors expressed as a set of matrix product operators labelled by the different group elements. A classification of SPT phases can hence be obtained by studying the topological obstructions to continuously deforming one set of matrix product operators into another. This leads to the classification of bosonic SPT states in terms of group cohomology, as originally derived by Chen et al. in [1106.4772]. Our formalism accommodates perturbations away from fixed point models, and hence opens up the possibility of studying phase transitions between different SPT phases. We furthermore show how the global symmetries of SPT PEPS can be promoted into a set of local gauge constraints by introducing bosonic degrees of freedom on the links of the PEPS lattice, thereby providing a natural and general mapping between PEPS in SPT phases and topologically ordered phases.

研究动机与目标

• 通过投影纠缠对态（PEPS）提供一种基于张量网络的对称保护拓扑（SPT）相分类方法。
• 表明SPT相中的局域对称性可通过矩阵乘积算符（MPOs）表示为PEPS张量的虚对称性。
• 建立MPO形变中的拓扑障碍与玻色子SPT相群上同调分类之间的联系。
• 将该框架扩展至非固定点模型，以实现对SPT相之间相变的研究。
• 展示如何通过键自由度将全局SPT对称性提升为局部规范约束，从而建立SPT相与拓扑序相之间的联系。

提出的方法

• 使用由群元素标记的矩阵乘积算符（MPOs），将PEPS中的局域对称性表示为局部张量的虚对称性。
• 将SPT相的分类表述为将一组MPO连续形变为另一组MPO的拓扑障碍。
• 利用群上同调对所得MPO结构进行分类，恢复了Chen等人对玻色子SPT相的分类结果。
• 在PEPS晶格键上引入额外的玻色子自由度，将全局SPT对称性提升为局部规范约束。
• 通过该规范约束构造，建立SPT-PEPS与拓扑序相之间的一般映射。
• 将该形式化方法应用于远离固定点模型的微扰，实现对SPT相之间连续相变的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过矩阵乘积算符系统地将SPT相中的局域对称性编码到PEPS张量的虚空间中？
• RQ2 在PEPS形式化中，哪些拓扑不变量用于分类SPT相，它们与群上同调有何关系？
• RQ3 该框架能否描述超越固定点模型的SPT相之间的连续相变？
• RQ4 如何通过辅助自由度将PEPS中的全局SPT对称性提升为局部规范对称性？
• RQ5 在具有MPO对称性的PEPS背景下，SPT序相与拓扑序相之间的一般关系是什么？

主要发现

• 本文确立了PEPS中SPT相由一组MPO变形为另一组MPO的拓扑障碍所分类，从而导出玻色子SPT相的群上同调分类。
• MPO形式化成功地将局域对称性作为PEPS张量的虚对称性捕捉，为SPT序提供了张量网络实现。
• 该框架通过容纳远离固定点模型的微扰，实现了对SPT相之间相变的研究。
• 通过在晶格键上引入玻色子自由度，可将PEPS中的全局SPT对称性提升为局部规范约束。
• 该构造为SPT-PEPS与拓扑序相之间提供了自然且通用的映射。
• 结果重现了Chen等人最初推导出的SPT相群上同调分类，验证了该形式化方法在PEPS框架内的有效性。