[论文解读] Matroid-Constrained Maximum Vertex Cover: Approximate Kernels and Streaming Algorithms

Huang, Chien-Chung, Sellier, François|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

该论文提出了针对拟阵约束下单调子模最大化问题的新型流式算法，在单次遍历中实现 0.3178 的近似比，内存复杂度为 Õ(k)；在 O(1/ε³) 次遍历中实现 (1−1/e−ε) 的近似比，内存复杂度为 Õ(k/ε)。该方法通过随机舍入和匹配列约束，克服了先前方法的局限性，弥合了基数约束与拟阵约束在流式环境下的差距。

ABSTRACT

Given a graph with weights on the edges and a matroid imposed on the vertices, our problem is to choose a subset of vertices that is independent in the matroid, with the objective of maximizing the total weight of covered edges. This problem is a generalization of the much studied max k-vertex cover problem, where the matroid is the simple uniform matroid, and it is also a special case of maximizing a monotone submodular function under a matroid constraint. In this work, we give a Fixed Parameter Tractable Approximation Scheme (FPT-AS) when the given matroid is a partition matroid, a laminar matroid, or a transversal matroid. Precisely, if k is the rank of the matroid, we obtain (1 - ε) approximation using (1/(ε))^{O(k)}n^{O(1)} time for partition and laminar matroids and using (1/(ε)+k)^{O(k)}n^{O(1)} time for transversal matroids. This extends a result of Manurangsi for uniform matroids [Pasin Manurangsi, 2018]. We also show that these ideas can be applied in the context of (single-pass) streaming algorithms. Our FPT-AS introduces a new technique based on matroid union, which may be of independent interest in extremal combinatorics.

研究动机与目标

• 为弥合流式子模最大化中基数约束与拟阵约束之间的差距，此前的方法在拟阵约束下无法实现紧致的保证。
• 设计空间高效的（半）流式算法，在拟阵约束下实现较强的近似比，尤其在单次遍历和多次遍历场景下。
• 建立在拟阵约束下实现接近最优的 (1−1/e) 近似比所必需的遍历次数与内存复杂度的紧致界。
• 将结果扩展至非单调函数和随机顺序流，实现超越先前工作的近似比提升。

提出的方法

• 提出一种单次遍历的半流式算法，结合随机舍入与阈值化策略，维护大小为 Õ(k) 的解集，实现 0.3178 的近似保证。
• 提出一种多次遍历算法，通过重复采样与增强操作模拟连续贪心过程，使用 O(1/ε³) 次遍历和 O(k/ε) 内存。
• 利用匹配列约束与概率分析，对每次迭代的期望边际增益进行上界估计，结合子模性与拟阵独立性。
• 采用滑动窗口方法，每轮遍历使用 αk 个窗口，其中 α = ⌈k/ε⌉/k，通过反复精炼逐步提升解的质量。
• 应用引理 43 对每次迭代的函数值期望增长进行上界估计，依赖于匹配列结构中的单射映射与均匀随机采样。
• 推导出涉及 E[f(Li)] 与 f(OPT) 的递推不等式，通过全期望法则得出闭式近似界：1/(p+1)(1−e^{−i(p+1)/(αk)}−O(ε))。

实验结果

研究问题

• RQ1 单次遍历的流式算法能否在拟阵约束下实现优于 1/4 的近似比，用于单调子模最大化？
• RQ2 在拟阵约束下，是否可能在常数次遍历内，以 Õ(k) 内存实现 (1−1/e−ε) 的近似比？
• RQ3 在流式子模最大化中，拟阵约束下遍历次数、内存与近似比之间的最优权衡是什么？
• RQ4 在 p-匹配列约束下，流元素的随机顺序如何影响近似保证？
• RQ5 用于拟阵约束的技术能否扩展至流模型中的非单调子模函数？

主要发现

• 单次遍历算法在 Õ(k) 内存下实现了 0.3178 的近似比，优于此前最佳的 0.25。
• 多次遍历算法在 O(1/ε³) 次遍历与 O(k/ε) 内存下实现了 (1−1/e−ε) 的近似比，其复杂度在 ε 依赖关系上是紧致的。
• 任何近似比优于 1/2 的算法必须进行多于一次的遍历，任何突破 1−1/e 的算法必须进行 Ω(k) 次遍历。
• 该方法可扩展至非单调函数，在单次遍历流式环境中将近似比从 0.1715 提升至 0.1921。
• 在随机顺序流中，算法在 p-匹配列约束下实现了更优的保证，表明在有利输入顺序下性能更强。
• 分析表明，近似比在渐近意义下是紧致的，因为该方法在遍历次数趋于无穷时可逼近已知最优界 1−1/e。