[论文解读] Maurer-Cartan type cohomology on generalized Reynolds operators and NS-structures on Lie triple systems

R. Gharbi, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2023

Geometric Analysis and Curvature FlowsMathematics被引用 3

一句话总结

本文在具有表示的李三系上引入了广义雷诺算子，构造了一个 $L_{u}$-代数，其Maurer-Cartan元对应于这些算子。定义了此类算子的山口上同调，并引入NS-李三系作为其底层代数结构，表明其可由NS-李代数导出。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce and study the notion of generalized Reynolds operators on Lie triple systems with representations (Abbr. extsf{L.t.sRep} pairs) as generalization of weighted Reynolds operators on Lie triple systems. First, We construct an $L_{\infty}$-algebra whose Maurer-Cartan elements are generalized Reynolds operators. This allows us to define a Yamaguti cohomology of a generalized Reynolds operator. This cohomology can be seen as the Yamaguti cohomology of a certain Lie triple system with coefficients in a suitable representation. Next, we study deformations of generalized Reynolds operators from cohomological points of view and we investigate the obstruction class of an extendable deformation of order $n$. We end this paper by introducing a new algebraic structure, in connection with generalized Reynolds operator, called NS-Lie triple system. Moreover, we show that NS-Lie triple systems can be derived from NS-Lie algebras.

研究动机与目标

• 将李三系上的加权雷诺算子推广到具有表示的李三系（L.t.sRep对）上的更广类算子。
• 利用 $L_\infty$-代数和Maurer-Cartan元，建立广义雷诺算子的上同调框架。
• 通过上同调中的障碍类研究广义雷诺算子的形变。
• 引入并表征一种新的代数结构——NS-李三系，作为广义雷诺算子的底层结构。
• 阐明NS-李代数、李三系与新定义的NS-李三系之间的关系。

提出的方法

• 构造一个 $L_\infty$-代数，其Maurer-Cartan元恰好是L.t.sRep对上的广义雷诺算子。
• 通过将算子解释为在底层李三系上以特定表示为系数的上同调类，定义广义雷诺算子的山口上同调。
• 利用 $L_\infty$-代数结构推导形变理论，并计算将n阶形变扩展到(n+1)阶的障碍类。
• 通过三元括号和二元运算引入NS-李三系的概念，推广NS-代数结构。
• 证明NS-李三系可通过涉及三元括号和导出二元运算的构造，自然地从NS-李代数导出。
• 利用上同调工具，关联李三系、广义雷诺算子与NS-结构的代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在表示框架下，如何将李三系上的加权雷诺算子推广？
• RQ2 广义雷诺算子背后的 $L_\infty$-代数结构是什么？它如何编码其上同调性质？
• RQ3 将广义雷诺算子的形变从n阶扩展到(n+1)阶的障碍类是什么？
• RQ4 广义雷诺算子在李三系上的底层代数结构是什么？它与NS-代数有何关系？
• RQ5 NS-李三系如何从NS-李代数构造？其定义公理是什么？

主要发现

• 作者构造了一个 $L_\infty$-代数，其Maurer-Cartan元恰好是L.t.sRep对上的广义雷诺算子。
• 广义雷诺算子的山口上同调被定义为在由算子诱导的合适表示下，底层李三系的上同调。
• 将n阶形变扩展到(n+1)阶的障碍类以系统的上同调形式明确描述。
• 引入了一种新的代数结构——NS-李三系，其满足一组公理，将NS-代数结构推广至三元设置。
• NS-李三系被证明可自然地通过涉及三元括号和导出二元运算的构造，从NS-李代数导出。
• 本文建立了一个层级结构：李代数 → NS-李代数 → 李三系 → NS-李三系，其中广义雷诺算子连接后两者。