[论文解读] Maximal ratio of coefficients of divisors and an upper bound for height for rational maps

ChongGyu Lee|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文引入了定义在数域上的有理映射 $ f: \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n $ 的 D-比率，其基点位于一个超平面 $ H $ 内，以建立推广北川定理的高度不等式，适用于自同态映射。关键结果是 D-比率能够对迭代下点的高度提供上界，即使在存在基点的情况下也成立，并确保某些有理映射（如 Hénon 映射）的典范高度函数存在。

ABSTRACT

When we have a morphism f : P^n -> P^n, then we have an inequality \frac{1}{°f} h(f(P)) +C > h(P) which provides a good upper bound of $h(P)$. However, if $f$ is a rational map, then \frac{1}{°f} h(f(P))+C cannot be an upper bound of h(P). In this paper, we will define the $D$-ratio of a rational map $f$ which will replace the degree of a morphism in the height inequality of h(P).

研究动机与目标

• 通过引入一个新不变量——D-比率，将典范高度理论扩展至具有基点的有理映射。
• 通过建立较弱但有用的不等式，克服非自同态有理映射下北川定理的失效。
• 为有理映射（如 Hénon 映射）提供典范高度函数存在的充分条件。
• 通过基点的消解，将基于次数的高度比较从自同态推广至有理映射。
• 利用 D-比率分析迭代下高度的渐近增长行为，及其与动力次数和典范高度的关系。

提出的方法

• 将 D-比率 $ r(f) $ 定义为在 $ f $ 的基点消解下，通过双有理态射 $ \tilde{f} = f \circ \rho $ 拉回超平面时，系数比值的最大值。
• 在消解空间 $ V $ 上使用 Weil 高度机器，比较 $ \tilde{f}^*H $ 与 $ \rho^*H $，得到全变换与例外除子的线性组合。
• 推导出对所有 $ P \in \mathbb{P}^n(\overline{K}) \setminus H $ 成立的高度不等式 $ \frac{r(f)}{\deg f} h(f(P)) + C > h(P) $，其中 $ C $ 仅依赖于 $ f $。
• 为两个具有不相交基点的交换有理映射 $ f_1, f_2 $ 建立联合高度不等式：$ \frac{1}{\deg f_1} h(f_1(P)) + \frac{1}{\deg f_2} h(f_2(P)) + C' > \left(1 + \min_l \frac{1}{r(f_l)} \right) h(P) $。
• 将 D-比率与动力次数 $ \deg f $、典范次数 $ c(f) $ 及最大增长速率 $ \mu(f) $ 关联，证明 $ \mu(f) \geq c(f) \geq \frac{\deg f}{r(f)} $。
• 将理论应用于 Hénon 映射及将曲线映射为点的有理映射等例子，证明在后一种情况下 $ r(f) = \infty $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有基点的有理映射（如 Hénon 映射）定义典范高度函数？
• RQ2 在非自同态的有理映射中，何种不变量可推广次数以进行高度比较？
• RQ3 D-比率如何控制有理映射迭代下高度的渐近行为？
• RQ4 在何种条件下，有理映射满足以 $ h(f(P)) $ 表示的 $ h(P) $ 的北川型上界？
• RQ5 D-比率、动力次数与有理映射的典范次数 $ c(f) $ 之间有何关系？

主要发现

• D-比率 $ r(f) $ 通过基点消解定义，满足 $ r(f) \geq 1 $，且当且仅当 $ f $ 为自同态时等号成立。
• 对任意具有基点在超平面 $ H $ 内的有理映射 $ f $，存在常数 $ C $，使得对所有 $ P \in \mathbb{P}^n(\overline{K}) \setminus H $，有 $ \frac{r(f)}{\deg f} h(f(P)) + C > h(P) $。
• 对两个具有不相交基点的有理映射 $ f_1, f_2 $，联合高度不等式成立：$ \frac{1}{\deg f_1} h(f_1(P)) + \frac{1}{\deg f_2} h(f_2(P)) + C' > \left(1 + \min_l \frac{1}{r(f_l)} \right) h(P) $。
• 典范次数 $ c(f) $ 满足 $ c(f) \geq \frac{\deg f}{r(f)} $，且当映射在其像上为一般有限时取等号。
• 若曲线 $ C \subset \mathbb{A}^n $ 在 $ f $ 下映射为一点，则 $ r(f) = \infty $，意味着高度不等式无法从上方控制 $ h(P) $。
• 对 Hénon 映射 $ g $，对 $ (g, g^{-1}) $ 满足定理 B 的假设，因此存在典范高度，推广了自同态情形。