[论文解读] Maximum scattered linear sets and MRD-codes

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Jan 24, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了当 $rn$ 为偶数时，$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 中最大分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集的秩界 $rn/2$ 是紧确的，包括此前未解决的 $r$ 为奇数且 $n$ 为偶数的情形。本文将 Sheekey 的构造推广，表明此类线性集可生成参数为 $(rn, n, q; n-1)$ 的 ${\mathbb{F}}_q$-线性 MRD 码，通过有限域上的二项式函数提供显式构造。

ABSTRACT

The rank of a scattered $\mathbb{F}_q$-linear set of $\mathrm{PG}(r-1,q^n)$, $rn$ even, is at most $rn/2$ as it was proved by Blokhuis and Lavrauw. Existence results and explicit constructions were given for infinitely many values of $r$, $n$, $q$ ($rn$ even) for scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of rank $rn/2$. In this paper we prove that the bound $rn/2$ is sharp also in the remaining open cases. Recently Sheekey proved that scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$ of maximum rank $n$ yield $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes with dimension $2n$ and minimum distance $n-1$. We generalize this result and show that scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(r-1,q^n)$ of maximum rank $rn/2$ yield $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes with dimension $rn$ and minimum distance $n-1$.

研究动机与目标

• 解决 $\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 中最大分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集分类中 $r$ 为奇数且 $n$ 为偶数的剩余开放问题。
• 建立最大分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集（秩为 $rn/2$）与参数为 $(rn, n, q; n-1)$ 的 ${\mathbb{F}}_q$-线性 MRD 码之间的通用对应关系。
• 通过有限域上的二项式函数，提供此类线性集及其关联 MRD 码的显式构造。
• 证明即使在先前未解决的情况下，秩界 $rn/2$ 也是紧确的，特别是针对 $r=3$，$n\geq6$ 为偶数，$n\equiv0\pmod{3}$，$q\not\equiv1\pmod{3}$，$q>2$ 的情形。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{F}_{q^{3t}}$ 上的二项式函数 $f(x) = ax^{q^i} + bx^{2t+i}$ 构造 $\operatorname{PG}(2,q^{2t})$ 中的最大分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集。
• 以存在由二项式定义的、秩为 $3t$ 的非分散线性集（在 $\operatorname{PG}(1,q^{3t})$ 中）作为基础步骤。
• 应用 Sheekey 在 $\operatorname{PG}(1,q^n)$ 中最大分散线性集与 ${\mathbb{F}}_q$-线性 MRD 码（维度 $2n$，最小距离 $n-1$）之间对应关系的推广。
• 通过从 $V(r,q^n)$ 中的子空间 $U_f$ 定义的映射 $G \circ \tau_v$ 构造 ${\mathbb{F}}_q$-线性 MRD 码，其中 $U_f$ 定义为 $\{x\omega + f(x) \mid x \in \mathbb{F}_{q^{rt}}\}$。
• 利用域的范数和迹条件，确保所构造线性集的线性性与最大秩。
• 针对不同情形（包括 $f(x) = ax^{q^i}$ 和 $f(x) = ax^{q^i} + bx^{q^{2t+i}}$）推导出 MRD 码的显式公式，条件涉及 $\gcd(i,2t)$、$\gcd(i,rt)$ 以及范数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r$ 为奇数且 $n$ 为偶数时，$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 中分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集的秩界 $rn/2$ 是否紧确？
• RQ2 对于所有偶数 $rn$，$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 中秩为 $rn/2$ 的最大分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集是否可系统性构造？
• RQ3 最大分散线性集与 ${\mathbb{F}}_q$-线性 MRD 码之间的对应关系是否可从 $r=2$ 的情形推广至一般 $r$？
• RQ4 哪些显式二项式函数族可生成 $\operatorname{PG}(2,q^{2t})$（$t \geq 2$）中的最大分散线性集？
• RQ5 即使底层子空间不等价，由此类线性集导出的 MRD 码是否仍为非等价？

主要发现

• 本文证明了 $\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 中分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集的秩界 $rn/2$ 对所有偶数 $rn$ 均为紧确，包括此前未解决的 $r$ 为奇数且 $n$ 为偶数的情形。
• 对于 $n\geq6$ 为偶数，$n\equiv0\pmod{3}$，$q\not\equiv1\pmod{3}$，$q>2$，本文提供了 $\operatorname{PG}(2,q^n)$ 中秩为 $3n/2$ 的最大分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集的显式构造。
• 建立了一般性构造：$\operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 中秩为 $rn/2$ 的最大分散 ${\mathbb{F}}_q$-线性集，均可生成参数为 $(rn, n, q; n-1)$ 的 ${\mathbb{F}}_q$-线性 MRD 码。
• 对于 $r=3$，$n=2t$，且 $f(x) = ax^{q^i} + bx^{q^{2t+i}}$，在 $a$、$b$ 和 $\gcd(i,2t)$ 满足特定条件时，构造出维度为 $6t$、最小距离为 $2t-1$ 的显式 MRD 码。
• 本文展示了非等价的 ${\mathbb{F}}_q$-子空间 $U_f$ 和 $U_g$ 可生成相同的 MRD 码，表明码的等价性并不蕴含子空间的等价性。
• 推导出在各种参数范围内有效的 MRD 码映射 $F_v$ 的显式公式，其表达式涉及 $x$、$y$、$v_0$、$v_1$、$a$、$b$、$A_0$、$A_1$ 以及 $q$-幂次。