[论文解读] McKean-Vlasov SDE and SPDE with Locally Monotone Coefficients

Wei Hong, Hu Shanshan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2022

Climate Change Policy and Economics被引用 5

一句话总结

该论文在状态变量和分布变量上均满足局部单调系数的条件下，建立了麦凯恩-弗拉索夫 SDE 和 SPDE 的强适定性与弱适定性，克服了非局部性的挑战。在较弱假设下证明了大偏差原理，并将结果推广至格粒介质、电浆、多孔介质及二维流体动力学等模型，放宽了以往对全局利普希茨连续性或单调性的要求。

ABSTRACT

In this paper we mainly investigate the strong and weak well-posedness of a class of McKean-Vlasov stochastic (partial) differential equations. The main existence and uniqueness results state that we only need to impose some local assumptions on the coefficients, i.e. locally monotone condition both in state variable and distribution variable, which cause some essential difficulty since the coefficients of McKean-Vlasov stochastic equations typically are nonlocal. Furthermore, the large deviation principle is also derived for the McKean-Vlasov stochastic equations under those weak assumptions. The wide applications of main results are illustrated by various concrete examples such as the granular media equations, plasma type models, kinetic equations, McKean-Vlasov type porous media equations and Navier-Stokes equations. In particular, we could remove or relax some typical assumptions previously imposed on those models.

研究动机与目标

• 在状态变量和分布变量上均满足局部单调系数的条件下，建立麦凯恩-弗拉索夫 SDE 和 SPDE 的强适定性与弱适定性。
• 通过发展一种放松全局利普希茨连续性或单调性假设的框架，克服麦凯恩-弗拉索夫方程固有的非局部性。
• 在弱的、局部的条件下，推导这些方程的大偏差原理（LDP）。
• 通过去除或弱化标准假设，将现有关于格粒介质、电浆、动力学及多孔介质方程的结果进行推广。
• 为在有限维与无限维情形下证明存在性、唯一性及大偏差原理，提供一种统一的变分法与弱收敛方法框架。

提出的方法

• 通过截断系数的局部化与逼近技术处理局部单调性，构造具有全局利普希茨性质的逼近 SDE 序列。
• 应用改进的 Yamada-Watanabe 定理，基于路径唯一性从弱解推导强解。
• 采用弱收敛方法证明大偏差原理（LDP），依赖于路径空间中的先验估计与紧致性。
• 将变分法与能量估计方法适配于希尔伯特空间中的 SPDE，特别适用于多孔介质与流体动力学类型方程。
• 构建基于状态变量与分布变量上局部单调条件的框架，允许非全局利普希茨系数的存在。
• 利用 Skorokhod 表示定理与 Vitali 收敛定理，确保逼近序列在分布意义及 L^p 范数下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数在状态变量与分布变量上仅满足局部单调性时，能否建立麦凯恩-弗拉索夫 SDE 的强适定性与弱适定性？
• RQ2 在仅满足局部单调性而非全局利普希茨连续性或单调性的假设下，大偏差原理是否仍适用于麦凯恩-弗拉索夫 SDE？
• RQ3 在更弱的系数条件下，这些结果能否推广至 SPDE，如随机多孔介质方程与二维流体动力学系统？
• RQ4 通过去除或弱化标准的全局正则性假设，经典模型如格粒介质、电浆与纳维-斯托克斯方程能在多大程度上被推广？
• RQ5 如何通过局部单调性与逼近技术有效处理麦凯恩-弗拉索夫方程的非局部结构？

主要发现

• 论文证明了在状态变量与分布变量上均满足局部单调系数的麦凯恩-弗拉索夫 SDE 的强适定性与弱适定性，相较于以往的全局假设，实现了显著放松。
• 在这些弱局部条件下，通过弱收敛方法与先验估计，建立了麦凯恩-弗拉索夫 SDE 的大偏差原理（LDP）。
• 该框架适用于广泛模型，包括格粒介质方程、电浆类模型、动力学方程以及麦凯恩-弗拉索夫多孔介质方程，且假设条件更为宽松。
• 对于 SPDE，证明了在局部单调条件下变分解的存在性，且通过能量估计建立了路径唯一性。
• 通过去除或弱化系数的全局利普希茨连续性或单调性条件，将先前关于随机多孔介质与二维流体动力学系统的成果进一步推广。
• 该方法允许非全局利普希茨漂移项，例如示例中的 $ dX(t) = -X(t)^3 \big[\textstyle\bigint_{\mathbb{R}^d} |y|^p \mathcal{L}_{X(t)}(dy)\big] dt + X(t) dW(t) $，尽管缺乏全局单调性，但仍满足局部单调性条件。