[论文解读] Measures and dimensions of Julia sets of semi-hyperbolic rational semigroups

Hiroki Sumi, Mariusz Urbański|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文证明，对于满足良好开放集条件的半双曲有理半群，若其 Julia 集的 Hausdorff 维数、度量维数和盒维数相等且有限，且其 $ h $-维 Hausdorff 测度与 Packing 测度均为正且有限。此外，本文进一步证明了在相关斜积映射上存在唯一的 $ h $-共形测度与唯一的绝对连续不变概率测度，二者等价且具有度量精确性，从而将共形测度理论扩展至含临界点的半群动力系统。

ABSTRACT

We consider the dynamics of semi-hyperbolic semigroups generated by finitely many rational maps on the Riemann sphere. Assuming that the nice open set condition holds it is proved that there exists a geometric measure on the Julia set with exponent $h$ equal to the Hausdorff dimension of the Julia set. Both $h$-dimensional Hausdorff and packing measures are finite and positive on the Julia set and are mutually equivalent with Radon-Nikodym derivatives uniformly separated from zero and infinity. All three fractal dimensions, Hausdorff, packing and box counting are equal. It is also proved that for the canonically associated skew-product map there exists a unique $h$-conformal measure. Furthermore, it is shown that this conformal measure admits a unique Borel probability absolutely continuous invariant (under the skew-product map) measure. In fact these two measures are equivalent, and the invariant measure is metrically exact, hence ergodic.

研究动机与目标

• 研究由黎曼球面上有限个有理映射生成的半双曲有理半群的 Julia 集的分形几何性质。
• 在良好开放集条件之下，确定 Julia 集的 Hausdorff 维数、Packing 维数与盒计数维数的相等性与有限性。
• 在与半群相关的斜积映射上，建立 $ h $-共形测度的存在性与唯一性。
• 证明存在唯一的 Borel 概率测度，其关于共形测度绝对连续，且在斜积映射下具有度量精确性与遍历性。
• 将共形测度理论扩展至半群动力系统，尤其处理 Julia 集中临界点的情形。

提出的方法

• 将共形迭代函数系统与扩张型有理半群动力系统的技巧适配于处理含临界点的非单射映射。
• 引入测度可估计性的广义概念，以控制非单射映射下原像的行为。
• 利用斜积映射构造，将半群作用提升为纤维动力系统，以进行测度论分析。
• 应用良好开放集条件，确保 Julia 集的逆像在不相交性与重叠控制方面具有良好的性质。
• 通过 Poincaré 级数的临界指数识别 Hausdorff 维数 $ h $，并证明其等于盒维数与 Packing 维数。
• 通过势论与几何论证证明唯一 $ h $-共形测度的存在性，随后证明其与唯一不变概率测度等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在良好开放集条件之下，半双曲有理半群的 Julia 集的 Hausdorff 维数、Packing 维数与盒计数维数是否相等？
• RQ2 是否存在一种几何测度，其指数 $ h $ 等于 Hausdorff 维数，使得 $ h $-维 Hausdorff 测度与 Packing 测度均为有限且正？
• RQ3 对于此类半群的典范斜积映射，是否存在唯一的 $ h $-共形测度？
• RQ4 在 Julia 集上是否存在唯一的 Borel 概率测度，其关于共形测度绝对连续，且在斜积映射下不变？
• RQ5 Hausdorff 测度与 Packing 测度之间的 Radon-Nikodym 导数是否一致地远离零与无穷大？

主要发现

• Julia 集 $ J(G) $ 的 Hausdorff 维数、Packing 维数与盒计数维数相等且有限，且满足 $ ext{HD}(J(G)) = h < 2 $。
• $ J(G) $ 上的 $ h $-维 Hausdorff 测度与 Packing 测度均为有限且正，且二者相互等价，其 Radon-Nikodym 导数一致地远离零与无穷大。
• 半群 $ G $ 的 Poincaré 级数的临界指数等于 Julia 集的 Hausdorff 维数 $ h $。
• 在斜积映射 $ \tilde{f} $ 的 Julia 集上，存在唯一的 $ h $-共形测度 $ \tilde{m}_h $。
• 在 $ J(\tilde{f}) $ 上存在唯一的 Borel 概率测度 $ \tilde{\mu}_h $，其关于 $ \tilde{m}_h $ 绝对连续，且 $ \tilde{\mu}_h $ 具有度量精确性与遍历性。
• 共形测度 $ \tilde{m}_h $ 与不变测度 $ \tilde{\mu}_h $ 等价，其 Radon-Nikodym 导数有上界与下界。