[论文解读] Meromorphic Levy processes and their fluctuation identities

Alexey Kuznetsov, Andreas E. Kyprianou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文引入了亚纯 Lévy 过程（M-过程），这是一种新的 Lévy 过程类别，其 Wiener-Hopf 分解因子为拉普拉斯指数的实极点和根所表示的有理函数。作者通过反拉普拉斯变换与数值积分，推导出首通过时间、首穿出量及反射过程的显式波动恒等式，从而实现了在风险理论、金融学和排队模型中联合分布的高效计算。

ABSTRACT

The last couple of years has seen a remarkable number of new, explicit examples of the Wiener-Hopf factorization for Levy processes where previously there had been very few. We mention in particular the many cases of spectrally negative Levy processes, hyper-exponential and generalized hyper-exponential Levy processes, Lamperti-stable processes, Hypergeometric processes, Beta-processes and Theta-processes. In this paper we introduce a new family of Levy processes, which we call Meromorphic Levy processes, or just M-processes for short, which overlaps with many of the aforementioned classes. A key feature of the M-class is the identification of their Wiener-Hopf factors as rational functions of infinite degree written in terms of poles and roots of the Levy-Khintchin exponent, all of which appear on the imaginary axis of the complex plane. The specific structure of the M-class Wiener-Hopf factorization enables us to explicitly handle a comprehensive suite of fluctuation identities that concern first passage problems for finite and infinite intervals for both the process itself as well as the resulting process when it is reflected in its infimum. Such identities are of fundamental interest given their repeated occurrence in various fields of applied probability such as mathematical finance, insurance risk theory and queuing theory.

研究动机与目标

• 定义一类新的 Lévy 过程——亚纯 Lévy 过程，其 Wiener-Hopf 分解因子可表示为拉普拉斯指数实极点与根的有理函数形式。
• 将首通过问题的显式波动恒等式扩展至已知类别的之外，特别是针对有限与无限区间。
• 通过反拉普拉斯变换，为 Gerber-Shiu 测度与折扣首穿出量分布提供计算上可行的公式。
• 展示该框架在带随机波动的时变 Lévy 过程中的适用性，例如金融建模中的相关过程。

提出的方法

• 通过拉普拉斯指数仅含实极点与根来定义 M-过程，从而实现 Wiener-Hopf 分解因子的有理表示。
• 利用 Wiener-Hopf 分解，通过反拉普拉斯变换推导出 Gerber-Shiu 测度与折扣首穿出量的显式表达式。
• 通过涉及拉普拉斯变换变量 q 的复积分表示，构造首通过时间与首穿出量的联合密度。
• 应用数值反演技术，包括 Filon 型求积与根与极点展开级数的截断，以高效计算密度。
• 利用所有恒等式均涉及首通过时间拉普拉斯变换的特性，通过数值傅里叶反演计算联合时空分布。
• 通过使用时间变换过程的已知拉普拉斯变换，将结果扩展至时变 Lévy 过程，保持原始恒等式的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一类新的 Lévy 过程，使其 Wiener-Hopf 分解因子为具有实极点与根的无限阶有理函数？
• RQ2 如何为这类过程在有限与无限区间上推导出首通过的显式波动恒等式？
• RQ3 何种数值方法可高效计算该类过程中首通过时间与首穿出量的联合密度？
• RQ4 该框架能否扩展至具有随机波动的时变 Lévy 过程，同时保持解析可计算性？
• RQ5 所提出的数值反演方法在实际实现中的计算效率如何？

主要发现

• M-过程的 Wiener-Hopf 分解因子可表示为拉普拉斯指数实极点与根的无穷乘积，从而实现显式波动恒等式。
• 首穿出量与首通过时间的联合密度由涉及拉普拉斯变换变量 q 的复积分给出，可通过标准算法进行数值反演。
• 使用根截断至 100 个、极点截断至 200 个，且 q₀ = 0.25、|Im(q)| < 10⁴ 时，密度 u(s,x) 的数值计算每张图约耗时 1.2 秒。
• 该方法成功捕捉了无 drift 与线性 drift 的 ladder 过程，质量沿线性趋势集中或在零处出现原子，具体取决于过程类型。
• 当时间变换具有已知拉普拉斯变换时，该框架可应用于时变 Lévy 过程，从而可直接推广至具有随机波动的模型。
• 所有推导出的恒等式均可通过拉普拉斯指数的根/极点与基本线性代数显式计算，且对空间变量（如首穿出量与最后最大值）可获得闭式表达式。