[论文解读] On the Lamperti stable processes

M. E. Caballero, Juan Carlos Pardo+1 more|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 22

一句话总结

本文引入了一类新的 $\ceil^d$-值 Lévy 过程，称为 Lamperti 稳定过程，其推广了稳定、温顿稳定和分层稳定过程。通过利用 Lamperti 变换和显式 Lévy 均值表征，作者推导出特征指数、尺度函数和级数表示的闭式表达式，从而实现了一维情形下首达时间与指数泛函等函数泛函的精确模拟与可计算性。

ABSTRACT

We consider a new family of $\R^d$-valued Lévy processes that we call Lamperti stable. One of the advantages of this class is that the law of many related functionals can be computed explicitely (see for instance \cite{cc}, \cite{ckp}, \cite{kp} and \cite{pp}). This family of processes shares many properties with the tempered stable and the layered stable processes, defined in Rosiński \cite{ro} and Houdré and Kawai \cite{hok} respectively, for instance their short and long time behaviour. Additionally, in the real valued case we find a series representation which is used for sample paths simulation. In this work we find general properties of this class and we also provide many examples, some of which appear in recent literature.

研究动机与目标

• 定义并表征一类新的 $\rceil^d$-值 Lévy 过程——Lamperti 稳定过程，其推广了稳定、温顿稳定和分层稳定过程。
• 在一维情形下，建立这些过程的特征指数、Lévy 均值和尺度函数的显式公式。
• 提供一种级数表示，以实现 Lamperti 稳定过程样本路径的高效模拟。
• 统一并拓展关于无正跳跃 Lévy 过程泛函（如首达时间与指数泛函）的已知结果。
• 通过与金融数学和随机过程中现有模型的联系，展示该框架的适用性。

提出的方法

• 本文采用 Lamperti 变换 ($LT_1$) 将正自相似马尔可夫过程 (pssMp) 与 Lévy 过程关联，推导出变换后过程的 Lévy 特征。
• 通过三元组 $(\rho, \beta, \theta)$ 表征 Lamperti 稳定过程的 Lévy 均值，其密度显式包含指数项与幂律项。
• 利用 Lévy-Khintchine 表示，推导出特征指数的闭式表达，其中包含线性漂移项 $b$ 和具有幂律衰减的 Lévy 均值。
• 基于 Lévy 均值结构构造级数表示，实现一维情形下样本路径的精确模拟。
• 通过包含伽马函数与指数项的积分表示，显式计算出尺度函数 $W^*(x)$。
• 通过与文献中已知过程（如 Patie [28]、Chaumont 等 [10]、Eberlein 和 Madan [13]）的关联，验证理论结果，显示其一致性与更广泛适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造一类新的 Lévy 过程，使其在短时间尺度上表现出稳定过程的特性，长时尺度上表现出布朗运动的特性，同时保持解析可处理性？
• RQ2 Lamperti 稳定过程在一维情形下的特征指数与 Lévy 均值的显式形式是什么？
• RQ3 能否为 Lamperti 稳定过程推导出一种级数表示，以实现样本路径的精确模拟？
• RQ4 Lamperti 稳定过程在结构与分析特性方面，与温顿稳定和分层稳定过程等现有类别的关系如何？
• RQ5 该框架对计算首达时间、首穿量与指数泛函等泛函有何影响？

主要发现

• Lamperti 稳定过程的特征指数由 Lévy-Khintchine 公式显式给出，其 Lévy 均值形式为 $\Pi(dx) = \left(\frac{c_+ e^{bx}}{(e^x - 1)^{\alpha+1}} \mathbf{1}_{\{x>0\}} + \frac{c_- e^{bx}}{(1 - e^x)^{\alpha+1}} \mathbf{1}_{\{x<0\}} \right) dx$，其中 $b$ 是由 Lévy 均值与常数 $K$ 导出的线性漂移项。
• 过程 $Y^{*,P}$ 的尺度函数为 $W^*(x) = \frac{1}{c_+ \Gamma^2(1 - \alpha)} \int_0^x e^{-(\alpha - \beta)y} (e^y - 1)^{\alpha - 1} dy$，为首达问题提供了显式表达式。
• 过程 $X^{PL}$ 被证明可分解为两个独立的无正跳跃 Lamperti 稳定过程之和，其参数分别为 $(\alpha+1, \beta+1, \sigma_1, b_1 - K)$ 与 $(\alpha+1, \beta, \sigma_2, b_2)$，从而支持进一步的泛函分析。
• 本文建立：$\alpha X^L$ 与 $\alpha X^{L,2}$ 的指数泛函可通过涉及稳定变量与伽马变量的已知因子分解计算，与 Eberlein 和 Madan [13] 的模型相联系。
• Ornstein-Uhlenbeck 过程的逆局部时间的 Lévy 均值被证明对应于参数为 $(1/2, 1, \sqrt{\gamma/\pi})$ 的 Lamperti 稳定分布，从而在非平凡的随机过程设定下验证了该框架。
• 该框架成功恢复并推广了 [6]、[10]、[24] 与 [28] 中的已知结果，特别是在计算谱单边 Lévy 过程的 Wiener-Hopf 因子与尺度函数方面。