[论文解读] Models of curves over DVRs

Tim Dokchitser|Explore Bristol Research|Jun 29, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文通过基于定义方程的牛顿多边形的 торic消去法，构造了离散赋值环（DVR）上光滑射影曲线的正规模型。在$Δ_v$-正则性条件下，给出了极小性的显式判别准则，计算了相对对偶化层的全局截面，并确定了平展上同调的可除部分与约化映射，提供了一种直接的几何构造方法，替代了迭代的爆破过程。

ABSTRACT

Let C be a smooth projective curve over a discretely valued field K, defined by an affine equation f(x,y)=0. We construct a model of C over the ring of integers of K using a toroidal embedding associated to the Newton polygon of f. We show that under 'generic' conditions it is regular with normal crossings, and determine when it is minimal, the global sections of its relative dualising sheaf, and the tame part of the first etale cohomology of C.

研究动机与目标

• 通过使用toric几何，构造DVR上曲线的正规模型，避免迭代爆破。
• 利用牛顿多边形数据表征曲线及其雅可比簇的极小性与良好/半稳定约化。
• 从定义方程显式计算相对对偶化层的全局截面以及平展上同调的可除部分。
• 从一般纤维到特殊纤维确定有理点上的约化映射。
• 通过toric奇点消去法提供Picard群及其Galois作用的几何实现。

提出的方法

• 利用定义多项式$f(x,y)=0$在DVR上的牛顿多面体$Δ_v$，构造一个扇形嵌入。
• 在$\mathbb{R}^3$中对牛顿多面体的下凸包应用toric消去法。
• 引入$\Delta_v$-正则性作为一般条件，以确保特殊纤维中所有分量与边的光滑性。
• 分别将$\bar{X}_F$与$X_L$与$\Delta_v$的$v$-面和$v$-边相关联，以描述特殊纤维。
• 将亏格计算为$|\Delta(\mathbb{Z})|$，即$\Delta$中内部格点的数量。
• 导出由$(i,j) \in \Delta(\mathbb{Z})$参数化的正则微分基：$x^i y^j \frac{dx}{xy f_y'}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时DVR上曲线的toric模型是正规且具有法向相交的？
• RQ2 什么条件能保证模型的极小性？极小性如何从牛顿多边形确定？
• RQ3 相对对偶化层的全局截面与曲线的平展上同调如何与牛顿多边形数据相关联？
• RQ4 从一般纤维到特殊纤维的有理点约化映射的结构是什么？
• RQ5 当曲线为可除性有理化时，$H^1_{\text{ét}}(C_{\bar{K}}, \mathbb{Q}_l)$上的Galois作用如何分解？

主要发现

• 当且仅当$f$是$\Delta_v$-正则时，toric模型是正规且具有法向相交的，这保证了所有分量$\bar{X}_F$与$X_L$的光滑性。
• 曲线的亏格恰好为$|\Delta(\mathbb{Z})|$，即牛顿多边形$\Delta$中内部格点的数量。
• 相对对偶化层的全局截面基由$ x^i y^j \frac{dx}{xy f_y'} $给出，其中$(i,j) \in \Delta(\mathbb{Z})$。
• 平展上同调$H^1_{\text{ét}}(C_{\bar{K}}, \mathbb{Q}_l)$的可除部分由$\Delta_v$-正则性及$v$-边的斜率决定。
• 当$\Delta_v$-正则性成立时，从$C(K)$到$\mathcal{C}(k)$的点约化映射是满射。
• 特殊纤维$\mathcal{A}_{\bar{k}}^0$的$l$-adic上同调同构于在惯性作用下固定的通用纤维Picard群部分，其核与余核分别有界于$d$与$|\Phi|$。