[论文解读] Integral Transforms and Deformations of K3 Surfaces

Eyal Markman, Sukhendu Mehrotra|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 17

一句话总结

本文证明了，对于K3曲面$X$上稳定层的模空间$M$，与$X \times M$上的普遍层相关的积分变换$Φ_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$在$\dim M \geq 4$时是忠实的但非满的。它通过与Mukai向量$v$相关的同余关系，将像范畴构造为从$D^b(X)$导出的范畴的商。此外，本文在$X^{[n]}$的形变等价类的不可约全纯对称流形的模空间$\mathfrak{M}^0$的Zariski余稠密开子集上，对$D^b(X)$构造了其几何形变，该形变在$M$为满足技术条件的层模空间时恢复$D^b(X)$。

ABSTRACT

Let X be a K3 surface and M a smooth and projective moduli space of stable sheaves on X of Mukai vector v. A universal sheaf U over X x M induces an integral transform F from the derived category D(X) of coherent sheaves on X to that on M. (1) We prove that the integral transform F is faithful. F is not full if the dimension of M is greater than 2. (2) We exhibit the full subcategory of D(M), consisting of objects in the image of F, as the quotient of a category, explicitly constructed from D(X), by a natural congruence relation defined in terms of the Mukai vector v. (3) Let C be a component of the moduli space of isomorphism classes of marked irreducible holomorphic symplectic manifolds deformation equivalent to the Hilbert scheme X^[n] of n points on a K3 surface X, n > 1. C is 21-dimensional, while the moduli of Kahler K3 surfaces is 20-dimensional. We construct a geometric deformation of the derived categories of K3 surfaces over a Zariski dense open subset of C, which coincides with D(X) whenever the marked manifold is a moduli space of sheaves on X satisfying a technical condition.

研究动机与目标

• 理解$K3$曲面$X$上稳定层模空间$M$的积分变换$Φ_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$的像结构。
• 将$D^b(M,\theta)$中属于$Φ_{\mathscr{U}}$像的全子范畴刻画为从$D^b(X)$构造的范畴关于由Mukai向量$v$定义的同余关系的商。
• 在不可约全纯对称流形的模空间$\mathfrak{M}^0$（形变等价于$X^{[n]}$）的Zariski余稠密开子集上，构造$D^b(X)$的几何形变，推广至非交换与gerby形变。
• 将Mukai格上的形变Hodge结构与Hochschild同调及数值$K$-群联系起来，同时保持Mukai向量$v$的Hodge类型。

提出的方法

• 利用从$D^b(X)$到$M$上$\theta$-扭曲层的导出范畴的积分变换$Φ_{\mathscr{U}}(\_):= \pi_{M,*}(\pi_X^*(\_ \otimes \mathscr{U}))$，其中$\mathscr{U}$是$X \times M$上的拟普遍层。
• 在$D^b(X \times X)$中构造一个正合列$\mathscr{A}$，作为$\Psi_{\mathscr{U}} \circ \Phi_{\mathscr{U}}$的核，该正合列编码了由变换诱导的$D^b(X)$上的自函子。
• 通过Mukai向量$v$定义范畴上的同余关系，并证明$Φ_{\mathscr{U}}$的像同构于该关系下的商范畴。
• 在$D^b(M,\theta)$上引入一个余单子结构$\mathbb{L}$，其余模对象范畴实现$Φ_{\mathscr{U}}$的像，并证明该余单子是简单且刚性的。
• 通过形变余单子$\mathbb{L}$，在$\mathfrak{M}^0$的Zariski余稠密开子集上对$D^b(X)$进行几何形变，同时保持$v$的Hodge类型。
• 依赖于猜想1.6（在twistor形变下，可性全纯向量丛的第一次上同调保持不变），该猜想对全纯向量丛已知成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 积分变换$Φ_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$是否忠实？在何种条件下是满的？
• RQ2 能否将$D^b(M,\theta)$中属于$Φ_{\mathscr{U}}$像的全子范畴描述为从$D^b(X)$构造的范畴关于由Mukai向量$v$定义的同余关系的商？
• RQ3 是否存在一个在$\mathfrak{M}^0$的Zariski余稠密开子集上的$D^b(X)$的几何形变，使得当$M$是满足技术条件的$X$上层的模空间时，该形变恢复$D^b(X)$？
• RQ4 此类族中$X$的Mukai格上的Hodge结构如何形变？Mukai向量$v$在保持Hodge类型$(1,1)$中起什么作用？
• RQ5 形变范畴的Hochschild同调与形变后的Mukai格之间有何关系？数值$K$-群与$v$的正交补之间有何关联？

主要发现

• 积分变换$Φ_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$是忠实的，但当$\dim M \geq 4$时不是满的，如定理2.2所示。
• 属于$Φ_{\mathscr{U}}$像的$D^b(M,\theta)$的全子范畴同构于从$D^b(X)$构造的范畴关于由Mukai向量$v$定义的同余关系的商，如定理3.4所确立。
• 该像范畴被实现为$D^b(M,\theta)$上一个简单且刚性的余单子$\mathbb{L}$的余模对象范畴，其中$\mathbb{L}$由$\Psi_{\mathscr{U}} \circ \Phi_{\mathscr{U}}$的核$\mathscr{A}$构造。
• 在$\mathfrak{M}^0$（即形变等价于$X^{[n]}$的标记不可约全纯对称流形的模空间）的Zariski余稠密开子集上，构造了$D^b(X)$的几何形变，使得当标记流形是满足技术条件的$X$上层的模空间时，该形变恢复$D^b(X)$。
• 该形变保持了Mukai向量$v$的Hodge类型$(1,1)$，且$v$在Mukai格中的正交补与$H^2(M,\mathbb{Z})$等距，如定理1.9及第8节讨论所示。
• 形变后的Mukai格上的Hodge结构与余模范畴的Hochschild同调相关，且类型$(1,1)$子格对应于形变范畴的数值$K$-群，该结论由与Toda范畴的比较及[Ma4]中的结果支持。