[论文解读] Moderate deviations principle for systems of slow-fast diffusions

Matthew R. Morse, Konstantinos Spiliopoulos|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过统一的弱收敛与随机控制方法，为具有慢-快动力学的多尺度扩散过程建立了中偏差原理（MDP）。通过求解泊松方程，推导出显式的作用泛函，该泛函在平均化与均质化两种情形下均有效，且适用于带相关噪声和全空间状态空间的情形，从而支持高效的罕见事件模拟方法。

ABSTRACT

In this paper, we prove the moderate deviations principle (MDP) for a general system of slow-fast dynamics. We provide a unified approach, based on weak convergence ideas and stochastic control arguments, that cover both the averaging and the homogenization regimes. We allow the coefficients to be in the whole space and not just the torus and allow the noises driving the slow and fast processes to be correlated arbitrarily. Similar to the large deviation case, the methodology that we follow allows construction of provably efficient Monte Carlo methods for rare events that fall into the moderate deviations regime.

研究动机与目标

• 为具有慢变量与快变量的多尺度扩散系统建立统一的中偏差原理（MDP）框架。
• 将现有MDP结果从环面和独立噪声的假设推广至一般欧几里得状态空间及相关噪声的情形。
• 通过辅助泊松方程的解，提供作用泛函的显式表达形式，以支持数值计算。
• 在单一分析框架下统一处理平均化与均质化两种情形。
• 为中偏差范围内罕见事件估计的可证明高效的蒙特卡洛方法奠定基础。

提出的方法

• 采用Budier和Dupuis（2000）提出的弱收敛方法，将MDP与随机控制问题联系起来。
• 引入时间尺度分离参数δ和噪声强度ε，定义慢-快系统，其中ε → 0且δ → 0以不同速率进行。
• 定义中偏差过程ηᵗᵉ = (Xᵗᵉ − X̄ᵗ)/(√ε h(ε))，其中h(ε) → ∞且√ε h(ε) → 0，当ε ↓ 0时。
• 通过Girsanov定理构造可控扩散过程(Xᵗᵉᵘ, Yᵗᵉᵘ)，以表示对数矩生成函数。
• 通过求解辅助泊松方程得到校正函数Φ₁和Φ₂，以刻画作用泛函。
• 利用系数的多项式增长条件，通过矩界和Doob的鞅不等式建立紧性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在统一框架下，为慢-快扩散过程在平均化与均质化两种情形下推导中偏差原理？
• RQ2 在具有相关噪声和全空间状态空间的系统中，MDP的作用泛函的显式形式是什么？
• RQ3 能否通过泊松方程的解，实现作用泛函的数值或解析计算？
• RQ4 弱收敛方法如何促进中偏差范围内罕见事件高效蒙特卡洛方法的构建？
• RQ5 在超越环面假设并考虑一般噪声相关性时，MDP结果扩展的技术挑战是什么？

主要发现

• 本文为一类广义的慢-快扩散过程建立了MDP，其系数定义在全空间ℝⁿ × ℝᵈ上，不局限于环面。
• 作用泛函通过涉及快过程生成元的特定泊松方程的解显式刻画，支持数值计算。
• 该方法在相同框架下统一处理了平均化（b = 0）与均质化（b ≠ 0）两种情形的分析。
• 该方法允许慢变量与快变量驱动噪声之间存在任意相关性，是对先前工作的显著推广。
• 通过矩界和Doob不等式建立了可控过程的紧性，收敛速度依赖于δ和h(ε)。
• 结果为设计中偏差范围内罕见事件的可证明高效的蒙特卡洛估计器提供了基础，因为作用泛函可显式计算。