[论文解读] Modified Futaki invariant and equivariant Riemann-Roch formula

Wang Feng, Bin Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过使用具有2-环面作用的等变黎曼-罗赫公式，提出了一种在法诺流形上的一般测试配置下，对修正Futaki不变量的新代数表述。证明了在环面法诺流形上的环面对称凯勒势上，修正的凯勒–里奇能量是恰当的，从而为环面法诺流形上凯勒–里奇孤立子和锥型孤立子的存在性提供了新证明。

ABSTRACT

In this paper, we give a new version of the modified Futaki invariant for a test configuration associated to the soliton action on a Fano manifold. Our version will naturally come from toric test configurations defined by Donaldson for toric manifolds. As an application, we show that the modified $K$-energy is proper for toric invariant Kähler potentials on a toric Fano manifold.

研究动机与目标

• 为一般测试配置定义修正Futaki不变量的新版本，扩展先前关于特殊退化的研究成果。
• 在统一的代数框架下，将Tian–Zhu的修正Futaki不变量与Donaldson的广义Futaki不变量联系起来。
• 建立环面法诺流形上环面对称凯勒势的修正凯勒–里奇能量的恰当性。
• 通过能量方法，为环面法诺流形上凯勒–里奇孤立子的存在性提供新证明。
• 通过证明修正对数凯勒能量的恰当性，将分析扩展至锥型凯勒–里奇孤立子。

提出的方法

• 利用具有二维环面作用的等变黎曼-罗赫公式，推导出修正Futaki不变量的代数表达式。
• 通过一参数子群在测试配置中心纤维上作用于线丛的全纯截面时的特征值，定义修正Futaki不变量。
• 用辛势函数和在矩量多面体上的Legendre变换表达修正凯勒–里奇能量。
• 应用Legendre变换，将凯勒势与矩量多面体上的凸函数关联，从而实现对能量泛函的分析。
• 通过在归一化函数空间中建立涉及势函数的$L^1$-范数的下界，证明修正能量泛函的恰当性。
• 利用连续性方法和$C^0$-估计，通过Legendre变换的统一有界性，建立锥型凯勒–里奇孤立子的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过代数几何方法，将修正Futaki不变量从特殊退化推广到任意测试配置？
• RQ2 在环面法诺流形上的环面对称凯勒势上，修正的凯勒–里奇能量泛函是否仍保持恰当性？
• RQ3 能否通过能量恰当性论证，重新证明环面法诺流形上凯勒–里奇孤立子的存在性？
• RQ4 在环面除子上指定锥型角时，存在锥型凯勒–里奇孤立子的条件是什么？
• RQ5 在环面退化下，修正Futaki不变量的行为如何？对于孤立子向量场，它是否为零？

主要发现

• 新定义的修正Futaki不变量通过等变黎曼-罗赫公式以代数方式表达，且在特殊退化情形下与Xiong–Berman的公式一致。
• 在任意环面法诺流形上，对于环面对称凯勒势，修正凯勒–里奇能量是恰当的，从而蕴含凯勒–里奇孤立子的存在性。
• 修正能量泛函满足如下下界：$\mathcal{F}_{\beta,\tau}(u) \geq \delta \int_P u e^{\theta(x)} dx - C_{\delta,\beta}$ 对任意 $\delta < 1$ 成立，从而证明了恰当性。
• 对任意 $\beta \leq 1$，在每个环面除子 $D_i$ 上存在唯一的环面对称锥型凯勒–里奇孤立子，其锥角为 $2\pi\beta$，推广了Datar–Guo–Song–Wang定理。
• 孤立子向量场 $X$ 模 $\mathrm{Aut}^0(M)$ 唯一，且当 $X$ 为孤立子向量场时 $\tau = 0$，从而简化了锥角条件。
• 存在性证明依赖于修正能量泛函的恰当性，该性质确保了连续性方法中的一致$C^0$-有界性，从而实现了解的构造。