[论文解读] Conical Kahler-Einstein metric revisited

Chi Li, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用 33

一句话总结

本文提出了一种“插值-退化”策略，用于研究在法诺流形上沿与反 canonical 除子成比例的除子具有圆锥奇点的圆锥 Kähler-Einstein 度量。通过在小圆锥角与大圆锥角之间进行插值，并分析退化情形，作者证明了存在此类度量的角集合构成一个连续区间，并确定了其端点。一个关键结果是：在 ℙ² 上存在沿光滑圆锥曲线的圆锥奇点的 Kähler-Einstein 度量，当且仅当角度属于 (π/2, 2π]，从而解决了关于 A₂ 奇点的 Sasaki-Einstein 度量存在性问题。

ABSTRACT

In this paper we introduce the "interpolation-degneration" strategy to study Kahler-Einstein metrics on a smooth Fano manifold with cone singularities along a smooth divisor that is proportional to the anti-canonical divisor. By "interpolation" we show the angles in $(0, 2π]$ that admit a conical Kahler-Einstein metric form an interval; and by "degeneration" we figure out the boundary of the interval. As a first application, we show that there exists a Kahler-Einstein metric on $P^2$ with cone singularity along a smooth conic (degree 2) curve if and only if the angle is in $(π/2, 2π]$. When the angle is $2π/3$ this proves the existence of a Sasaki-Einstein metric on the link of a three dimensional $A_2$ singularity, and thus answers a problem posed by Gauntlett-Martelli-Sparks-Yau. As a second application we prove a version of Donaldson's conjecture about conical Kahler-Einstein metrics in the toric case using Song-Wang's recent existence result of toric invariant conical Kahler-Einstein metrics.

研究动机与目标

• 确定在法诺流形 X 上沿除子 D ∼ −λK_X 具有圆锥奇点的圆锥 Kähler-Einstein 度量存在的完整圆锥角 β ∈ (0,1] 范围。
• 利用插值与退化技术，证明此类角的集合 E(X,D) 在 (0,1] 中构成一个相对开区间。
• 通过证明 β = 2π/3 的情形，解决 Gauntlett-Martelli-Sparks-Yau 的一个猜想，即在三维 A₂ 奇点的链上存在 Sasaki-Einstein 度量。
• 在 toric 情形下，利用 Song-Wang 的存在性结果，通过插值-退化策略证明 Donaldson 关于圆锥 Kähler-Einstein 度量猜想的一个版本。

提出的方法

• 提出一种“插值-退化”策略：利用插值证明 E(X,D) 是一个区间，利用退化确定其边界。
• 应用隐函数定理与 Bando-Mabuchi 分岔方法，分析当 β → 1 时圆锥度量的收敛性。
• 利用对数 Futaki 不变量与对数 Mabuchi 能量检测存在性的障碍，将其与对数 K-稳定性联系起来。
• 分析线性系统 |−λK_X| 中除子 D 的退化行为，特别是当 λ 为偶数时，以识别极限奇异 Kähler-Einstein 对。
• 利用 toric 几何与仿射坐标研究基底支集附近的局部行为，并验证 |−λK_X| 中一般除子的光滑性。
• 在具有边界的奇异代数簇上使用复 Monge-Ampère 方程，研究圆锥度量退化极限的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在法诺流形 X 上，沿除子 D ∼ −λK_X，哪些圆锥角 β ∈ (0,1] 允许存在圆锥 Kähler-Einstein 度量？
• RQ2 此类角的集合 E(X,D) 是否为一个区间？其端点是什么？
• RQ3 当 Aut(X) 非离散时，X 上光滑 Kähler-Einstein 度量的存在是否意味着当 β → 1 时圆锥度量收敛到它？
• RQ4 插值-退化策略能否解决 toric 情形下 Donaldson 关于圆锥 Kähler-Einstein 度量的猜想？
• RQ5 当 λ 增大时，|−λK_X| 中除子 D 的退化行为如何？它如何影响圆锥度量的存在性？

主要发现

• 存在圆锥 Kähler-Einstein 度量的圆锥角集合 E(X,D) 是 (0,1] 中的一个相对开区间，且包含 (0,1−λ⁻¹+ε)，其中 ε > 0。
• 当 X = ℙ² 且 D 为一条光滑圆锥曲线（次数为 2）时，存在圆锥 Kähler-Einstein 度量当且仅当 β ∈ (1/2,1]，对应角度 2πβ ∈ (π/2,2π]。
• 当 β = 2π/3（即 β = 2/3）时，该结果证明了在三维 A₂ 奇点的链上存在 Sasaki-Einstein 度量，从而证实了 Gauntlett-Martelli-Sparks-Yau 的一个猜想。
• 在 toric 情形下，插值-退化策略结合 Song-Wang 的存在性结果，证明了 Donaldson 猜想的一个版本。
• 当 λ 为偶数时，|−λK_X| 中的一般除子是光滑的，且随着 λ 增大，其退化为基底支集的倍数，而环境空间保持不变。
• 当 λ 为奇数（例如 λ = 1）时，环境空间的退化行为预期存在，但尚未解决，表明此类情形下仍缺少一个退化模型。