[论文解读] Modular representation theory in type A via Soergel bimodules

Ben Elias, Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 24

一句话总结

本文证明了在正特征下，类型 A 的模表示范畴——如 GLn 的有理表示、量子群以及分次 Hecke 代数——中的分解数由仿射 p-Kazhdan-Lusztig 多项式通过 Soergel 双模编码。作者在正特征下的图式 Soergel 范畴上构造了一个范畴化的 Kac-Moody 作用，并证明了最高权范畴化 Fock 空间的一个唯一性结果，从而将模表示理论与 Soergel 理论范畴联系起来，表明 p-KL 多项式计算了标准模与倾限模中简单模的重数。

ABSTRACT

In this paper we express certain multiplicities in modular representation-theoretic categories of type A in terms of affine p-Kazhdan-Lusztig polynomials. The representation-theoretic categories we deal with include the categories of rational representations of GL(n), representations of the quantum group for gl(n), and representations of (degenerate) cyclotomic Hecke and Schur algebras, where the base field is an algebraically closed field of arbitrary prime characteristic. In order to approach this problem we define Soergel-theoretic versions of parabolic categories O in characteristic p. We show that these categories have many common features with the classical parabolic categories O; for example, they are highest weight. We produce a homomorphism from a (finite or affine) type A 2-Kac-Moody category to the diagrammatic version of the category of singular Soergel bimodules (again, of finite or affine type A). This leads to a categorical Kac-Moody action on the Soergel-theoretic categories O. Then we relate the representation-theoretic categories to Soergel-theoretic ones by proving a uniqueness result for highest weight categorical actions on Fock spaces.

研究动机与目标

• 建立正特征下类型 A 的模表示范畴与 Soergel 双模之间的联系。
• 在特征 p 下定义图式 Soergel 范畴中抛物范畴 O 的 Soergel 理论类比，证明其为最高权范畴并具有范畴化 Kac-Moody 作用。
• 证明最高权范畴化 Fock 空间的一个唯一性结果，从而实现表示论范畴与 Soergel 理论范畴的识别。
• 证明在 GLn 的有理表示、量子群模以及分次 Hecke 代数中，分解数由仿射 p-KL 多项式在 1 处的取值给出。

提出的方法

• 在有限型与仿射型 A 中构造具有 Frobenius 结构和附加关系的奇异 Soergel 双模的图式范畴。
• 通过生成元与关系（包括点、交叉、杯、帽和泡泡）在图式 Soergel 范畴上定义范畴化 Kac-Moody 作用。
• 引入特征 p 下 Soergel 理论版本的抛物范畴 O，证明其为最高权范畴且具有标准分层结构。
• 证明最高权范畴化 Fock 空间的一个唯一性定理，表明任何此类仿射 Hecke 代数 Fock 空间的范畴化均与 Soergel 理论版本等价。
• 利用 Ringel 对偶与商函子，将 Soergel 理论范畴与经典模表示范畴联系起来。
• 应用 Rouquier 的唯一性结果，将分次 Schur 代数与 Hecke 代数的范畴识别为 Soergel 理论 Fock 空间商范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，如何范畴化描述类型 A 的模表示范畴？
• RQ2 Soergel 双模在实现模表示理论中分解数的角色是什么？
• RQ3 能否在特征 p 的图式 Soergel 范畴上构造范畴化 Kac-Moody 作用，并证明其范畴化了 Fock 空间？
• RQ4 仿射 p-Kazhdan-Lusztig 多项式如何编码如 GLn 有理表示与量子群模等范畴中的分解数？
• RQ5 是否存在唯一的最高权范畴化 Fock 空间，使其与已知的模表示范畴相匹配？

主要发现

• 在素特征域上的 GLn 有理表示范畴中，分解数由仿射 p-Kazhdan-Lusztig 多项式 P^p,J_{μ,λ}(1) 在 1 处的取值给出。
• 当轨道 O_λ* 与 O_μ* 重合时，分次 Schur 代数 Se,r_F(n)-mod 中标准模的简单模重数等于 P^p,J_{α(μ*),α(λ*)}(1)，否则为零。
• 对于分次 Hecke 代数，若商模非零，则 He,r_F(n)-mod 中的分解数由 P^p,J_{α(μ*),α(λ*)}(1) 给出，且满足相同的轨道条件。
• 多项式表示范畴 Polm,d 是 Polm',d（当 m' > m 时）的最高权商范畴，从而可将 Rep(GLm) 中的重数约化为 OS_p,0 中的重数。
• Soergel 理论范畴 O+e_F(J,n) 通过将 ∆+e(λ*) 映射至 ∆S(λ) 的函子与 Se,r_F(n)-mod 等价，且该等价保持 K-理论类。
• 范畴化 Fock 空间结构的唯一性确保了任何仿射 Hecke 代数 Fock 空间的最高权范畴化均与 Soergel 理论版本等价，从而将模表示范畴与 Soergel 理论范畴相识别。