[论文解读] Modularization of small quantum groups

Azat M. Gainutdinov, Simon Lentner+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 27

一句话总结

本论文通过在偶数单位根处对量子群扩张进行模化并利用$R$-矩阵，构造了一类广大的可分解带结辫子准霍普夫代数（称为准量子群），从而克服了标准小量子群在偶数单位根处无法实现可分解$R$-矩阵的缺陷。该构造基于扭双李代数的通用商，即使原始表示范畴不具备辫子结构，也能生成模张量范畴，并为这些代数提供了显式的生成元与关系式。

ABSTRACT

We construct a large family of ribbon quasi-Hopf algebras related to small quantum groups, with a factorizable R-matrix. Our main purpose is to obtain non-semisimple modular tensor categories for quantum groups at even roots of unity, where typically the initial representation category is not even braided. Our quasi-Hopf algebras are built from modules over the twisted Drinfeld double via a universal construction, but we also work out explicit generators and relations, and we prove that these algebras are modularizations of the quantum group extensions with R-matrices listed in [LO17]. As an application, we find one distinguished factorizable quasi-Hopf algebra for any finite root system and any root of unity of even order (resp. divisible by 4 or 6, depending on the root length). Under the same divisibility condition on a rescaled root lattice, a corresponding lattice Vertex-Operator Algebra contains a VOA W defined as the kernel of screening operators. We then conjecture that W representation categories are braided equivalent to the representation categories of the distinguished factorizable quasi-Hopf algebras. For A_1 root system, our construction specializes to the quasi-Hopf algebras in [GR17b, CGR17], where the answer is affirmative, similiary for B_n at fourth root of unity in [FGR17b, FL17].

研究动机与目标

• 解决小量子群在偶数单位根处无法拥有可分解$R$-矩阵的问题，该问题阻碍了模张量范畴的形成。
• 为从量子群理论中产生的非可分解辫子范畴系统性地构造模张量范畴。
• 建立这些新准量子群与作为筛分算子核定义的顶点算子代数（VOAs）之间的联系。
• 为所构造的准霍普夫代数提供显式生成元与关系式，以确保其可构造性与可计算性。
• 在根系满足特定格点整除条件时，猜想这些准量子群的表示范畴与特定$χ$-代数（来自VOAs）的表示范畴之间存在辫子等价。

提出的方法

• 通过商化 Nichols 代数与群代数的扭双李代数，采用通用构造方法，生成新的准霍普夫代数。
• 对源自量子群扩张与$R$-矩阵的非可分解辫子张量范畴应用模化，如[LO17]所分类。
• 利用原始代数的通用$R$-矩阵与双李代数结构，显式构造所得准量子群的$R$-矩阵。
• 在具有非平凡结合子的辫子张量范畴中，利用 Yeter-Drinfeld 模与 Nichols 代数的理论构建初始数据。
• 利用余端构造与初始霍普夫代数表示范畴中的辫子霍普夫代数结构，定义模化函子。
• 通过验证[BT04]中定义的辫子设定下的映射$Q: H^* \to H$的双射性，确认所得准霍普夫代数的可分解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在偶数单位根处的小量子群构造模张量范畴，其中标准$R$-矩阵不可分解？
• RQ2 一个非可分解量子群扩张与$R$-矩阵的模化所生成的可分解带结辫子准霍普夫代数的显式结构是什么？
• RQ3 这些新准量子群的表示范畴与 VOAs 中作为筛分算子核获得的$χ$-代数的表示范畴有何关系？
• RQ4 在根系与单位根阶数满足何种条件下，存在一个特殊可分解准霍普夫代数？
• RQ5 在给定根系与单位根阶数下，所构造准量子群的表示范畴与$χ$-代数范畴之间是否存在辫子等价？

主要发现

• 构造了一类广大的可分解带结辫子准霍普夫代数，作为扭双李代数的商，即使原始量子群扩张缺乏可分解$R$-矩阵，也能生成模张量范畴。
• 对于任意有限根系及任意偶数阶单位根（根据根长不同，可被4或6整除），显式构造了一个特殊可分解准霍普夫代数。
• 证明了所构造准量子群的表示范畴是[LO17]所分类的带$R$-矩阵的量子群扩张表示范畴的模化。
• 该构造推广了已知例子：当$A_1$时，恢复了[GR17b, CGR17]中的准量子群；当$B_n$在四次单位根处时，与[FGR17b, FL17]的结果一致。
• 提出一个猜想：在根系的缩放根格满足相同整除条件时，$χ$-代数（筛分算子核）的表示范畴与特殊准量子群代数的表示范畴之间存在辫子等价。
• 为准量子代数显式计算了生成元与关系式，使得其结构可进行具体计算与验证。