[论文解读] Module theory over Leavitt path algebras and $K$-theory

Pere Ara, Miquel Brustenga|ArXiv.org|May 23, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文通过证明正则代数 $ Q_k(E) $ 的高阶 K-理论分解为勒维特路径代数 $ L_k(E) $ 的 K-理论与 $ P_k(E) $ 上有限长模的范畴的 K-理论，建立了勒维特路径代数上的模理论与 K-理论之间的深刻联系。关键结果是一个分裂正合序列 $ K_i(Q_k(E)) \cong K_i(L_k(E)) \oplus \mathrm{Bla}_{i-1}(P_k(E)) $（对 $ i \geq 1 $），该结果推广了关于经典勒维特代数的 $ K_1 $ 的早期结果。

ABSTRACT

Let $k$ be a field and let $E$ be a finite quiver. We study the structure of the finitely presented modules of finite length over the Leavitt path algebra $L_k (E)$ and show its close relationship with the finite-dimensional representations of the inverse quiver $\overline{E}$ of $E$, as well as with the class of finitely generated $P_k(E)$-modules $M$ such that ${ m Tor}_q^{P_k (E)}(k^{|E^0|},M)=0$ for all $q$, where $P_k(E)$ is the usual path algebra of $E$. By using these results we compute the higher $K$-theory of the von Neumann regular algebra $Q_k (E)=L_k (E)Σ^{-1}$, where $Σ$ is the set of all square matrices over $P_k (E)$ which are sent to invertible matrices by the augmentation map $ε\colon P_k (E) o k^{|E^0|}$.

研究动机与目标

• 将关于经典勒维特代数 $ L(1,n) $ 的正则代数 $ Q_n $ 的 $ K_1 $-计算结果推广至任意有限有向图的高阶 K-理论。
• 建立 $ L_k(E) $ 上有限长的有限表示模与逆有向图 $ \overline{E} $ 的有限维表示之间的结构联系。
• 将正则代数 $ Q_k(E) $ 表征为 $ P_k(\overline{E}) $ 关于特定单射类的普遍局部化。
• 以 $ K_i(L_k(E)) $ 与 $ P_k(E) $-模的有限长范畴 $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ 的 K-理论来计算 $ Q_k(E) $ 的高阶 K-理论。

提出的方法

• 利用普遍局部化构造正则代数 $ Q_k(E) $ 为 $ L_k(E)\Sigma^{-1} $，其中 $ \Sigma $ 由在到 $ k^{|E^0|} $ 的增广映射下变为可逆的 $ P_k(E) $ 上的矩阵组成。
• 应用定理 7.1 关于普遍局部化，推导出 $ P_k(E) \to P_{\mathrm{rat}}(E) $ 与 $ L_k(E) \to Q_k(E) $ 的 K-理论中的正合序列。
• 将范畴 $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ 识别为在 $ P_k(\overline{E}) $-模之间具有有限维、无自由项的余核的单射的余核范畴。
• 利用 $ K_i(P_k(E)) \cong K_i(k^d) \cong K_i(k)^d $ 的事实，证明 $ P_k(E) \to P_{\mathrm{rat}}(E) $ 的 K-理论序列是分裂的，从而推导出 $ Q_k(E) $ 的类似分裂性。
• 利用同构 $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) \cong \mathbf{fnP}(L_k(E))_{\mathrm{fl}} $，将有限长 $ L_k(E) $-模与逆有向图 $ \overline{E} $ 的表示联系起来。
• 通过矩阵 $ 1 - N_E $ 的余核与核计算 $ K_1(Q_k(E)) $，其中 $ N_E $ 是有向图 $ E $ 的关联矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限表示的 $ L_k(E) $-模中有限长的模的范畴与有限维 $ k\langle y_1,\dots,y_n\rangle $-模的范畴之间有何关系？
• RQ2 正则代数 $ Q_k(E) $ 的高阶 K-理论群的结构是什么？它们与 $ L_k(E) $ 和 $ P_k(E) $ 的 K-理论有何关联？
• RQ3 正则代数 $ Q_k(E) $ 能否被实现为 $ P_k(\overline{E}) $ 的普遍局部化？如果是，是相对于哪类态射？
• RQ4 对 $ i \geq 1 $，$ K_i(Q_k(E)) $ 的精确分解是什么？它是否分裂？
• RQ5 $ Q_k(E) $ 的 $ K_1 $-群如何依赖于有向图的结构，特别是依赖于汇点与关联矩阵 $ N_E $ ？

主要发现

• 正则代数 $ Q_k(E) $ 的高阶 K-理论满足分裂正合序列：对所有 $ i \geq 1 $，有 $ K_i(Q_k(E)) \cong K_i(L_k(E)) \oplus \mathrm{Bla}_{i-1}(P_k(E)) $。
• 有限长 $ P_k(E) $-模的范畴 $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ 同构于在 $ P_k(\overline{E}) $-模之间具有有限维、无自由项余核的单射的余核范畴。
• $ Q_k(E) $ 的 $ K_1 $-群同构于 $ 1 - N_E $ 的映射的余核与核的直和，系数分别为 $ k^\times $ 与 $ \mathbb{Z} $，再加上 $ \mathrm{Bla}_0(P_k(E)) $。
• $ K_i(P_k(E)) \to K_i(P_{\mathrm{rat}}(E)) $ 是单射且分裂的，且满足 $ K_i(P_{\mathrm{rat}}(E)) \cong K_i(k)^d \oplus \mathrm{Bla}_{i-1}(P_k(E)) $。
• $ \mathcal{Bla}(P_k(E)) $ 同构于有限表示的 $ L_k(E) $-模中有限长模的范畴，从而在模理论与逆有向图的表示理论之间建立了桥梁。
• 正则代数 $ Q_k(E) $ 同构于普遍局部化 $ P_k(\overline{E})\Upsilon^{-1} $，其中 $ \Upsilon $ 由具有有限维、无自由项余核的单射组成。