[论文解读] Moduli of Hyperelliptic Curves and Multiple Dirichlet Series

Adrian Diaconu, Vicenţiu Pașol|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 49被引用 5

一句话总结

该论文通过施加与函数方程无关的公理，构建了一个与二次狄利克雷L-函数乘积相关的独特多重狄利克雷级数。它证明了该级数的p-部分满足与可接受双覆盖模空间相关的递推关系，从而通过超椭圆模空间H_g[2]上ℓ-进上同调的弗罗贝尼乌斯算子的特征值，以归纳方式表达系数，借助德利涅的权理论，将数论与代数几何联系起来。

ABSTRACT

In this paper we provide an explicit construction of a $distinctive$ multiple Dirichlet series associated to products of quadratic Dirichlet L-series, which we believe should be tightly connected to a generalized metaplectic Whittaker function on the double cover of a Kac-Moody group. To do so, we first impose a set of axioms, independent of any group of functional equations, which the aforementioned object should satisfy. As a consequence, we deduce that the coefficients of the $p$-parts of the multiple Dirichlet series satisfy certain recurrence relations. These relations lead to a family of identities, which turns out to be $encoded$ in the combinatorial structure of certain moduli spaces of admissible double covers. Finally, via this crucial connection, we apply Deligne's theory of weights to express inductively the coefficients of the $p$-parts in terms of the eigenvalues of Frobenius acting on the $\ell$-adic étale cohomology of local systems on the moduli $\mathscr{H}_{g}[2]$ of hyperelliptic curves of genus $g$ with level 2 structure.

研究动机与目标

• 构建一个与二次狄利克雷L-函数乘积相关的多重狄利克雷级数，且不依赖于函数方程群。
• 通过公理约束导出的递推关系，识别该级数的p-部分。
• 建立该级数系数与超椭圆曲线模空间H_g[2]上局部系统上同调之间的深刻联系。
• 利用德利涅的权理论，通过弗罗贝尼乌斯算子在ℓ-进上同调上的特征值，以归纳方式表达系数。

提出的方法

• 对多重狄利克雷级数施加一组与任何函数方程群无关的公理。
• 从这些公理推导出该级数p-部分系数的递推关系。
• 将这些递推关系识别为可接受双覆盖模空间的组合结构所编码的内容。
• 应用德利涅的权理论，将系数与H_g[2]上局部系统ℓ-进平展上同调上弗罗贝尼乌斯算子的特征值联系起来。
• 利用递推结构与模空间之间的联系，以q-韦伊数的形式归纳表达p-部分系数。
• 使用生成函数和留数计算来计算特定系数，特别是在三阶矩和M_3(r;q)与四阶矩和M_4(r;q)的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖于函数方程群的前提下，构造一个与二次L-函数乘积相关的多重狄利克雷级数？
• RQ2 此类级数的p-部分系数所满足的递推关系背后的组合或几何结构是什么？
• RQ3 该级数p-部分系数与具有level 2结构的超椭圆曲线模空间H_g[2]上局部系统的平展上同调之间有何关系？
• RQ4 能否通过德利涅的权理论，以弗罗贝尼乌斯特征值的形式归纳表达这些系数？
• RQ5 在函数域设定下，矩和M_3(r;q)与M_4(r;q)之间的精确关系是什么？它如何反映更深层的上同调结构？

主要发现

• 该多重狄利克雷级数的p-部分系数可归纳地用q-韦伊数表示，这些q-韦伊数是弗罗贝尼乌斯算子在模空间H_g[2]上局部系统的ℓ-进平展上同调上的特征值。
• 控制p-部分系数的递推关系编码于可接受双覆盖模空间的组合结构之中。
• 通过平方自由多项式上的群作用及与椭圆曲线上的矩和比较，证明了当r为偶数时，恒等式M_4(r;q) = q·M_3(r;q)成立。
• p-部分的生成函数满足一个包含qz²−1除以z(z−1)以及E-函数乘积的留数公式，该公式在|κ| = r₁(κ) + 2r₂(κ)条件下可分离出系数。
• 对于偶数r，证明了M_4(r;q) = q·M_3(r;q)，确认了命题5.2证明中使用的关键恒等式。
• 该构造为Kac-Moody群的双重覆盖上的一类广义余切Whittaker函数提供了候选，将数论与无穷维李理论联系起来。