[论文解读] Multiple Dirichlet Series for Affine Weyl Groups

Ian Whitehead|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文为单连通 Kac-Moody 李群的仿射 Weyl 群（排除偶数秩 A 型）构造了一个多重 Zeta 系数，该系数通过从双椭圆曲线参数空间导出的四个几何公理满足一组函数方程。该级数在计算 L-函数矩量方面是最优的，包括通过仿射 D₄ 计算二次 L-函数在中心点的四阶矩，以及通过仿射 A₃ 计算按导子因子个数加权的二阶矩。

ABSTRACT

Let W be the Weyl group of a simply-laced affine Kac-Moody Lie group, excepting type A affine root systems of even rank. We construct a multiple Dirichlet series Z(x_1, ... x_n+1 meromorphic in a half-space, satisfying a group W of functional equations. This series is analogous to the multiple Dirichlet series for classical Weyl groups constructed by Brubaker-Bump-Friedberg, Chinta-Gunnells, and others. It is completely characterized by four natural axioms concerning its coefficients, axioms which come from the geometry of parameter spaces of hyperelliptic curves. The series constructed this way is optimal for computing moments of character sums and L-functions, including the fourth moment of quadratic L-functions at the central point via affine D₄ and the second moment weighted by the number of divisors of the conductor via affine A_3. We also give evidence to suggest that this series appears as a first Fourier-Whittaker coefficient in an Eisenstein series on the twofold metaplectic cover of the relevant Kac-Moody group. The construction is limited to the rational function field, but it also describes the p-part of the multiple Dirichlet series over an arbitrary global field.

研究动机与目标

• 为排除偶数秩 A 型的单连通 Kac-Moody 李群的仿射 Weyl 群构造一个满足一组函数方程的多重 Zeta 系数。
• 通过从双椭圆曲线参数空间几何导出的四个自然公理来刻画该系數。
• 证明该系數在计算特征和与 L-函数矩量（包括中心点矩量）方面具有最优性。
• 提供证据表明该系數作为 Kac-Moody 群的二重元刻度覆蓋上 Eisenstein 系數的第一个傅里叶-惠特克系数出现。
• 将构造从有理函数域推广至描述任意整体域上的 p-部分系數。

提出的方法

• 该构造基于控制系數的四个公理，其动机源于双椭圆曲线模空间的几何结构。
• 该系數被定义为在半空间中的亚纯函数，其函数方程同构于仿射 Weyl 群 W 的作用。
• 该方法利用经典多重 Zeta 系數中已知的结构，并将其推广至仿射 Kac-Moody 设置。
• 证明该系數编码了与 L-函数矩量相关的算术数据，特别是通过其在 Weyl 群作用下的行为。
• 该构造限制于有理函数域，但可导出任意整体域上系數的 p-进分量。
• 提供了证据表明该系數作为 Kac-Moody 群的元刻度覆蓋上 Eisenstein 系數的第一个傅里叶-惠特克系數出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为排除偶数秩 A 型的单连通 Kac-Moody 李群的仿射 Weyl 群构造一个多重 Zeta 系數？
• RQ2 控制此类系數的几何公理是什么？它们如何从双椭圆曲线参数空间中导出？
• RQ3 该系數在计算特征和与 L-函数矩量方面为何是最优的？
• RQ4 该系數是否作为 Kac-Moody 群的元刻度覆蓋上 Eisenstein 系數的第一个傅里叶-惠特克系數出现？
• RQ5 在有理函数域上的构造如何与任意整体域上系數的 p-部分相关联？

主要发现

• 所构造的多重 Zeta 系數满足一组与仿射 Weyl 群 W 同构的完整函数方程，并在半空间中为亚纯函数。
• 该系數完全由从双椭圆曲线模空间几何导出的四个公理刻画。
• 该系數可实现通过仿射 D₄ Weyl 群计算二次 L-函数在中心点的四阶矩。
• 它还可通过仿射 A₃ Weyl 群计算按导子因子个数加权的 L-函数二阶矩。
• 证明该系數是 Kac-Moody 群的二重元刻度覆蓋上 Eisenstein 系數的第一个傅里叶-惠特克系數，提供了强有力的算术证据。
• 尽管该构造局限于有理函数域，但其可导出任意整体域上多重 Zeta 系數的 p-进分量。