[论文解读] Monadic Second-Order Logic with Path-Measure Quantifier is Undecidable

Raphaël Berthon, Emmanuel Filiot+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

semigroups and automata theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文证明了在无限二叉树上，带有路径测度量词的单元二阶逻辑（MSO）是不可判定的——该量词表达的是某一性质在勒贝格测度为1的路径集合上成立。证明通过将定性通用parity树自动机的空性问题约化到该逻辑，利用了一种新颖的概率自动机编码技术。

ABSTRACT

We prove that the theory of Monadic Second-Order logic (MSO) of the infinite binary tree extended with qualitative path-measure quantifier is undecidable. This quantifier says that the set of infinite paths in the tree that satisfies some formula has Lebesgue-measure one. To do this we prove that the emptiness problem of qualitative universal parity tree automata is undecidable. Qualitative means that a run of a tree automaton is accepting if the set of paths in the run that satisfy the acceptance condition has Lebesgue-measure one.

研究动机与目标

• 建立在无限二叉树上扩展了路径测度量词的单体二阶逻辑（MSO+∀¹_path）的不可判定性。
• 解决形式逻辑中一个开放问题：此前研究未解决的MSO+∀¹_path的可判定性问题。
• 证明定性通用parity树自动机的空性问题是不可判定的，这是核心技术贡献。
• 提出一种基于概率自动机的新证明技术，与该领域先前独立的证明方法不同。
• 表明MSO+∀¹_path逻辑比标准MSO更富表达力，但仍然不可判定，从而解决了关键的可判定性问题。

提出的方法

• 构造一个MSO+∀¹_path公式，以捕捉parity树自动机的定性通用语言。
• 使用路径测度量词∀¹_path编码运行在几乎所有路径上接受的条件，该量词断言路径集合的测度为1。
• 通过将定性通用parity树自动机的空性问题约化到MSO+∀¹_path中的满足性问题，实现证明。
• 利用概率自动机技术，模拟并推理逻辑中的测度论接受条件。
• 在树自动机的运行与逻辑公式之间建立对应关系，其中接受条件通过路径上的MSO公式表达。
• 证明：MSO+∀¹_path中的句子有效，当且仅当对应自动机的定性通用语言为空。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限二叉树上，扩展了路径测度量词的单体二阶逻辑是否可判定？
• RQ2 与标准MSO相比，MSO+∀¹_path的表达力和可判定性状态如何？
• RQ3 定性通用parity树自动机的空性问题能否约化为一个逻辑决策问题？
• RQ4 使用概率自动机是否能为形式逻辑中的不可判定性结果提供一种新颖的证明技术？
• RQ5 MSO与MSO+∀¹_path之间是否存在严格意义上的表达力提升？如果是，这种提升是否以不可判定性为代价？

主要发现

• 无限二叉树上的MSO+∀¹_path理论是不可判定的，解决了形式逻辑中的一个开放问题。
• 定性通用parity树自动机的空性问题是不可判定的，这是核心技术结果。
• 路径测度量词∀¹_path（断言某一性质在勒贝格测度为1的路径集合上成立）尽管具有直观的“几乎必然”语义，仍导致不可判定性。
• 基于概率自动机的证明技术与先前该结果的独立证明相比，提供了不同且独立的方法。
• MSO+∀¹_path逻辑比标准MSO更具表达力，因为它可以表达关于测度为1的路径集合的性质。
• 即使将该量词限制在构成路径的集合上，该不可判定性结果依然成立，表明其不可判定性的稳健性。