[论文解读] Monge-Ampère operators, energy functionals, and uniqueness of Sasaki-extremal metrics

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 8

一句话总结

该论文证明了在Sasakian流形上的横截Kähler度量空间中，沿弱 $C^{1,1}$ 测地线的K-能量的凸性，从而证明了Sasaki极值度量在Reeb叶层结构及其横截全纯结构的微分同胚下的唯一性。该结果将Kähler几何中的拟凸性技巧推广至Sasakian几何，为Sasakian情形下极值度量的存在性提供了关键必要条件，并建立了一个新的唯一性框架。

ABSTRACT

We develop some pluripotential theoretic techniques for the transversally holomorphic foliation of a Sasakian manifold. We prove the convexity of the K-energy along weak geodesics for Sasakian manifolds. This implies that the K-energy is bounded below if a constant scalar curvature structure exists with those metrics minimizing it. More generally, a relative version of the K-energy is convex, and bounded below if there exists a Sasaki-extremal metric, providing an important necessary condition for Sasaki-extremal metrics. Another application is a proof of the uniqueness of Sasaki-extremal metrics, for a fixed transversally holomorphic structure on the Reeb foliation.

研究动机与目标

• 将拟凸性理论从Kähler几何推广至Sasakian几何，特别是针对横截全纯叶层结构。
• 在横截Kähler度量空间中，建立K-能量沿弱 $C^{1,1}$ 测地线的凸性。
• 证明Sasaki极值度量在Reeb叶层结构及其横截全纯结构的微分同胚下的唯一性。
• 通过相对K-能量的有界性，为Sasaki极值度量的存在性提供一个必要条件。

提出的方法

• 在Sasakian流形的横截Kähler空间上，发展横截次调和函数与Monge-Ampère算子。
• 应用Monge-Ampère算子的弱连续性，将K-能量延拓至弱 $C^{1,1}$ 潜势空间 $\mathcal{H}_{1,1}$。
• 通过扰动的Mabuchi泛函应用隐函数定理，构造临界点的路径。
• 通过 $\alpha$-扭曲Mabuchi泛函 $\mathcal{M}^{\alpha,t\mu}$ 的变形论证，证明在 $\alpha$-扭曲极值条件下的唯一性。
• 分析极值方程的线性化，证明测地线方程的微分是同构，从而支持隐函数定理的应用。
• 应用横截椭圆算子理论与 $L^2$-估计，证明泛函的二阶变分的正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Sasakian流形的横截Kähler度量空间中，K-能量是否沿弱 $C^{1,1}$ 测地线保持凸性？
• RQ2 是否可以在不假设 $c_1^b(M) \leq 0$ 的条件下，建立Sasaki极值度量的唯一性？
• RQ3 若存在Sasaki极值度量，则相对K-能量是否下有界？这是否构成存在的必要条件？
• RQ4 唯一性结果能否推广至 $\alpha$-扭曲极值结构？$\alpha$ 的 $K$-不变性在此中起什么作用？
• RQ5 Kähler几何中的拟凸性技巧如何适应Sasakian流形的横截几何？

主要发现

• K-能量在横截Kähler势空间中沿弱 $C^{1,1}$ 测地线保持凸性，推广了Kähler几何中的一个关键结果。
• 若存在Sasaki极值度量，则K-能量有下界，从而为存在性提供必要条件。
• Sasaki极值度量在Reeb叶层结构及其横截全纯结构的微分同胚下唯一。
• 对于固定全纯势的 $\alpha$-扭曲极值结构，横截Kähler度量被唯一确定。
• $\alpha$-扭曲Mabuchi泛函沿弱测地线是凸的，且在给定条件下其临界点唯一。
• 在临界点处，极值方程的线性化是同构，从而允许使用隐函数定理在邻域内构造唯一解。