[论文解读] On the existence of constant scalar curvature Kähler metric: a new perspective

Xiuxiong Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 43被引用 25

一句话总结

本文引入了一条新的凯勒度量空间中的连续路径，用于解决常数量曲率凯勒（cscK）度量的存在性问题，推广了凯勒爱因斯坦情形。关键贡献在于证明了在 $ t \in (0,1) $ 范围内解集的开性，以及在测地距离下扭曲K-能量泛函的强制性，即使标准K-能量的完全强制性尚未建立。

ABSTRACT

In this paper, we report a "new" continuity path which links the constant scalar curvature equation to a second order elliptic equation. This is largely an expository article where we describes various aspects of geometry and analysis associated with path.

研究动机与目标

• 提出凯勒类中的一条新连续路径，以解决常数量曲率凯勒（cscK）度量的一般存在性问题。
• 在该路径上建立解集的开性，这是通过连续性方法证明存在性的关键步骤。
• 证明在 $ t \in (0,1) $ 范围内，即使标准K-能量的完全强制性未知，扭曲K-能量泛函在测地距离下仍具强制性。
• 提供一种基于PDE的方法解决cscK问题，补充代数稳定性猜想。

提出的方法

• 引入一个以 $ t \in [0,1] $ 为参数的一族方程，介于扭曲极值度量方程与cscK方程之间。
• 将扭曲cscK度量方程定义为 $ (1-t)\operatorname{tr}_{\varphi_t}\chi - t R_{\varphi_t} = C_t $，其中 $ C_t $ 是依赖于 $ t $ 的常数。
• 使用扭曲K-能量泛函 $ E_{\mu_k,t} = tE + (1-t)J_{\mu_k} $，结合Mabuchi K-能量与广义$ J $-泛函。
• 通过受LeBrun-Simanca启发的摄动论证，利用合适的巴拿赫空间设定下的隐函数定理，证明解集的开性。
• 通过分析泛函沿测地线段的行为，建立在 $ t \in (0,1) $ 范围内扭曲K-能量的强制性。
• 应用矩图象与泛函不等式，将该路径的几何与稳定性条件联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一条新的连续路径，在凯勒爱因斯坦情形之外，以全般方式解决cscK度量问题？
• RQ2 在 $ t \in (0,1) $ 范围内，该路径的解集是否开，以确保局部可解性并支持全局延拓？
• RQ3 在 $ t \in (0,1) $ 范围内，即使标准K-能量的强制性未知，扭曲K-能量泛函是否在测地距离下具有强制性？
• RQ4 cscK度量的存在性能否通过该路径上扭曲K-能量泛函的恰当性来刻画？
• RQ5 该新路径与Yau-Tian-Donaldson猜想中关于K-稳定性与cscK度量的关系如何？

主要发现

• 根据定理1.5，所提连续路径的解集 $ I \subset [0,1] $ 在所有 $ t \in (0,1) $ 处均为开集。
• 根据定理3.4，对任意 $ t \in (0,1) $，扭曲K-能量泛函在测地距离下具有强制性。
• 该路径推广了Fine、Stoppa以及Lejmi-Székelyhidi的先前工作，尤其在 $ t = 1/2 $ 时恢复了Stoppa的方程。
• 根据定理6.2，扭曲K-能量泛函 $ E_{\mu_k,t} = tE + (1-t)J_{\mu_k} $ 沿所有 $ k = 1, \dots, n $ 的 $ C^{1,1} $ 测地线段上是凸的。
• 当 $ k = n $ 时，证明了猜想的必要方向：若存在 $ t_0 \in (0,1) $ 的扭曲cscK度量，则扭曲K-能量 $ t_0E + (1-t_0)J_\mu $ 在测地距离下是恰当的。
• 泛函 $ J_{\mu_k} $ 满足不等式链 $ J_{\omega_0^n} \geq \cdots \geq J_{\omega_0} \geq \frac{1}{n+1}J $，如命题6.1所示。