[论文解读] Mori fibre spaces for K\"ahler threefolds

Andreas Höring, Thomas Peternell|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文证明了任意具有二维基的非投影紧凯勒三复乘积的MRC-纤维化结构的紧凯勒三复乘积，其双全纯双有理等价于一个Mori纤维空间，从而完成了紧凯勒三复乘积的极小模型程序（MMP）。通过使用归一化的凯勒类与伴随类的基点自由定理，作者构建了一个在凯勒曲面上−KX为正的纤维化结构，证明了在双有理有理化情形下MMP的终止性。

ABSTRACT

Let X be a compact Kaehler threefold such that the base of the MRC-fibration has dimension two. We prove that X is bimeromorphic to a Mori fibre space. Together with our earlier result arXiv:1304.4013 this completes the MMP for compact Kaehler threefolds: let X be a non-projective compact Kaehler threefold. Then X has a minimal model or X is bimeromorphic to a Mori fibre space over a non-projective Kaehler surface.

研究动机与目标

• 通过解决双有理有理化情形，完成非投影紧凯勒三复乘积的极小模型程序（MMP）。
• 证明具有MRC-纤维化基为二维的紧凯勒三复乘积双有理等价于一个Mori纤维空间。
• 在MRC-纤维化基维数为二的凯勒三复乘积背景下，建立伴随类KX + ω的基点自由定理。
• 证明在双有理有理化情形下MMP的终止性，从而在具有klt奇点的凯勒曲面上获得Mori纤维空间结构。

提出的方法

• 在X上引入归一化的凯勒类ω，使得对一般纤维F ≃ P¹有ω · F = 2。
• 利用Păun的近期结果，证明当MRC-纤维化基的维数为二时，KX + ω为拟有效。
• 证明伴随类KX + ω的MMP存在，从而得到一个模型X′，使得对X′上所有归一化的凯勒类ω′，有KX′ + ω′为 nef。
• 建立基点自由定理：若KX + ω为 nef 且归一化，则KX + ω关于到凯勒曲面S的全纯纤维化ϕ: X → S为ϕ-平凡。
• 对投影态射应用相对锥与收缩定理，在S上运行相对MMP，确保终止性。
• 通过Grauert准则与奇点的局部分析，证明所得曲面S为Q-因子化且至多具有klt奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有二维MRC-纤维化基的非投影紧凯勒三复乘积是否都存在一个双有理模型，使其为Mori纤维空间？
• RQ2 基点自由定理能否被推广至凯勒设定下，适用于具有归一化凯勒类的伴随类KX + ω？
• RQ3 双有理有理化凯勒三复乘积的MMP是否保证在构造Mori纤维空间时终止？
• RQ4 在所得Mori纤维空间结构中，基曲面S的奇点与几何性质为何？
• RQ5 在MMP的双有理变换下，基曲面S的凯勒性质是否能被保持？

主要发现

• 每个具有终端奇点且基为Q-因子化的正常紧凯勒三复乘积，若其MRC-纤维化基为二维，则双有理等价于一个Mori纤维空间。
• 存在一个MMP X 99K X′，使得对X′上任意归一化的凯勒类ω′，伴随类KX′ + ω′为 nef。
• 对任意归一化的凯勒类ω on X，若KX + ω为 nef，则存在一个全纯纤维化ϕ: X → S，其中S为一个正常紧凯勒曲面，使得KX + ω为ϕ-平凡。
• 该纤维化的基曲面S为Q-因子化且至多具有klt奇点，此结论通过Grauert准则与奇点的局部分析得以确立。
• 在S上的相对MMP终止于一个Mori纤维空间X′′ → S′′，其中S′′为具有klt奇点的紧凯勒曲面。
• 所得Mori纤维空间结构满足−KX′′为ϕ-ample且ρ(X′′/S′′) = 1，从而确认了所需的纤维化类型。