[论文解读] Morse--Sard theorem and Luzin $N$-property: a new synthesis result for Sobolev spaces

Adele Ferone, Mikhail V. Korobkov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文将Morse–Sard定理与Sobolev空间及分数阶Sobolev映射的Luzin N性质相结合，建立了新的合成结果，证明若集合 $ E \to \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m $ 满足 $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $，则 $ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $，其中 $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $，且当 $ \tau < n $ 时，其对可积性参数 $ p $ 的依赖关系为最优，将经典结果推广至最小正则性设定。

ABSTRACT

For a regular (in a sense) mapping $v:\mathbb{R}^n o \mathbb{R}^d$ we study the following problem: {\sl let $S$ be a subset of $m$-critical a set $ ilde Z_{v,m}=\{{ m rank} abla v\le m\}$ and the equality $\mathcal{H}^τ(S)=0$ (or the inequality $\mathcal{H}^τ(S)0$. Does it imply that $\mathcal{H}^σ(v(S))=0$ for some $σ=σ(τ,m)$?} (Here $\mathcal{H}^τ$ means the $τ$-dimensional Hausdorff measure.) For the classical classes $C^k$-smooth and $C^{k+α}$-Holder mappings this problem was solved in the papers by Bates and Moreira. We solve the problem for Sobolev $W^k_p$ and fractional Sobolev $W^{k+α}_p$ classes as well. Note that we study the Sobolev case under minimal integrability assumptions $p=\max(1,n/k)$, i.e., it guarantees in general only {\it the continuity} (not everywhere differentiability) of a mapping. In particular, there is an interesting and unexpected analytical phenomena here: if $τ=n$ (i.e., in the case of Morse--Sard theorem), then the value $σ(τ)$ is the same for the Sobolev $W^k_p$ and for the classical $C^k$-smooth case. But if $τ

研究动机与目标

• 将经典的Morse–Sard定理与Luzin N性质推广至Sobolev空间及分数阶Sobolev空间中的映射，且在最小可积性假设下进行。
• 确定最优维数 $ \sigma $，使得当 $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ 且 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ 时，有 $ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $。
• 解决Sobolev空间中临界维数 $ \sigma $ 对可积性参数 $ p $ 的依赖关系，特别是当 $ \tau < n $ 时。
• 在最优正则性条件下，为 $ W^{k}_{p} $ 和 $ W^{k+\alpha}_{p} $ 映射建立精确的 $ (\tau, \sigma, m) $-N性质。

提出的方法

• 基于代数几何基础，运用Y. Yomdin对多项式近临界值的深度熵估计。
• 应用与J. Bourgain及J. Kristensen合作的先前成果，对Sobolev映射的水平集进行Hausdorff测度估计。
• 采用广义的coarea公式与Hölder型不等式，控制映射下原像的大小。
• 通过覆盖论证将问题约化为立方体上的局部估计，并控制导数的 $ L_p $-范数。
• 利用定理2.1中的集合函数 $ \Phi $ 来量化例外集的大小，并验证N性质条件。
• 通过 $ \|h\|_{L_p(Q_i)} $ 与 $ \|h\|_{L_{p,1}(Q_i)} $ 的衰减估计建立严格N性质，其中 $ \sum \ell(Q_i)^\tau \leq C $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $ p = \max(1, n/k) $ 的Sobolev映射 $ v \in W^{k}_{p}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $，当 $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ 且 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ 时，$ (\tau, \sigma, m) $-N性质是否成立？
• RQ2 当 $ \tau < n $ 时，临界维数 $ \sigma $ 如何依赖于 $ p $？这与经典 $ C^k $-情形有何不同？
• RQ3 在最小可积性与Hölder型正则性条件下，能否为 $ W^{k+\alpha}_{p} $-映射建立严格 $ (\tau, \sigma, m) $-N性质？
• RQ4 Sobolev空间中，最优界 $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $ 是否成立？当 $ p \to \infty $ 时，它是否退化为经典的 $ C^k $-结果？
• RQ5 Yomdin的熵估计在控制Sobolev映射下具有有限 $ \mathcal{H}^\tau $-测度的集合的原像大小中起什么作用？

主要发现

• 对于 $ v \in W^{k}_{p}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ 且 $ p = \max(1, n/k) $，若 $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ 且 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $，则 $ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $，其中 $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $，且当 $ W^k_p $ 时 $ \alpha = 0 $。
• 当 $ \tau = n $ 时，临界维数 $ \sigma $ 与经典 $ C^k $-情形相同，表明不同正则性类之间的一致性。
• 当 $ \tau < n $ 时，$ \sigma $ 显式依赖于 $ p $，且当 $ p \to \infty $ 时，经典 $ C^k $-结果被恢复。
• 在相同条件下，$ W^{k+\alpha}_{p} $-映射的严格 $ (\tau, \sigma, m) $-N性质成立，且 $ \sigma $-公式相同，该性质在 $ C^{k,\alpha+} $-型正则性下保持不变。
• 证明依赖于在立方体分解上对 $ L_p $-范数的精细估计与Hölder不等式，其中Yomdin对多项式近临界值的熵估计起关键作用。
• 在可微性失败或导数过大的集合 $ A_v $ 上，其 $ \mathcal{H}^\mu $-测度可忽略，从而可将问题约化为正则化水平集。