[论文解读] Motivic Donaldson-Thomas invariants and McKay correspondence

Sergey Mozgovoy|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用 40

一句话总结

本文通过 quiver with potential 技术计算了 $\operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ 对 $\mathbb{C}^3/G$ 的 crepant resolution 的 motivic Pandharipande-Thomas (PT) 和 Donaldson-Thomas (DT) 不变量。它建立了一个精确公式，将这些不变量与计数有限域上绝对不可约 quiver 表示的 Kac 多项式联系起来，并证明 motivic DT 不变量是具有非负整数系数的多项式，支持了关于 quiver with potentials 的更广泛正性猜想。

ABSTRACT

Let $G\subset SL_2(C)\subset SL_3(C)$ be a finite group. We compute motivic Pandharipande-Thomas and Donaldson-Thomas invariants of the crepant resolution $Hilb^G(C^3)$ of $C^3/G$ generalizing results of Gholampour and Jiang who computed numerical DT/PT invariants using localization techniques. Our formulas rely on the computation of motivic Donaldson-Thomas invariants for a special class of quivers with potentials. We show that these motivic Donaldson-Thomas invariants are closely related to the polynomials counting absolutely indecomposable quiver representations over finite fields introduced by Kac. We formulate a conjecture on the positivity of Donaldson-Thomas invariants for a broad class of quivers with potentials. This conjecture, if true, implies the Kac positivity conjecture for arbitrary quivers.

研究动机与目标

• 计算 $\mathbb{C}^3/G$ 的 crepant resolution $Y = \operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ 的 motivic DT 和 PT 不变量，其中 $G \subset \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$。
• 为计数有限域上绝对不可约 quiver 表示的 Kac 多项式 $a_\alpha(q)$ 提供几何解释。
• 提出并支持关于一类广泛 quivers with potentials 的 motivic DT 不变量正性的一个猜想。
• 将 Gholampour 和 Jiang 使用局部化方法计算的数值不变量推广到 motivic 设置。

提出的方法

• 使用 $(G, \mathbb{C}^3)$ 的 McKay quiver $\widehat{Q}$ 及特定势 $W = \sum_{(a:i\to j)\in Q_1} (aa^*l_j - a^*al_i)$。
• 通过 Jacobian 代数 $J_{\widehat{Q},W}$ 和框架稳定表示模空间的虚拟动机，应用 motivic Donaldson-Thomas 不变量的框架。
• 依赖于通用 motivic DT 系列公式：$\sum_{\alpha} [\mathfrak{M}(J_{\widehat{Q},W},\alpha)]_{\mathrm{vir}} y^\alpha = \operatorname{Exp}\left( \frac{\sum_{\alpha} a_\alpha(\mathbb{L}) y^\alpha}{1 - \mathbb{L}^{-1}} \right)$。
• 应用 [34] 中的 wall-crossing 公式，将通用系列与依赖于稳定性参数的生成函数 $\mathcal{Z}_\zeta$ 关联。
• 利用仿射 quiver 的根系 $\Delta_+^{\mathrm{re}}$ 和 $\Delta_+^{\mathrm{im}}$ 的显式结构，推导出 $\mathcal{Z}_{PT}$ 和 $\mathcal{Z}_{DT}$ 的闭式表达。
• 在 $\mathbb{L}^{1/2} = 1$ 处特化结果，以恢复数值不变量，与 Gholampour-Jiang 及其他人的早期结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 motivic DT 和 PT 不变量 $\operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ 如何与 Kac 多项式 $a_\alpha(q)$ 相关联？
• RQ2 是否可以普遍地建立或猜想 quivers with potential 的 motivic DT 不变量的正性？
• RQ3 $Y = \operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ 的生成函数 $\mathcal{Z}_{PT}$ 和 $\mathcal{Z}_{DT}$ 的精确结构是什么？
• RQ4 motivic 不变量在 $\mathbb{L}^{1/2} = 1$ 特化下如何与经典数值不变量关联？
• RQ5 motivic DT/PT 对应关系是否在 $Y = \operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ 上成立，它与 GW/DT/PT 对应关系有何关联？

主要发现

• J_{\widehat{Q},W} 的通用 motivic DT 系列为 $\operatorname{Exp}\left( \frac{\sum_{\alpha} a_\alpha(\mathbb{L}) y^\alpha}{1 - \mathbb{L}^{-1}} \right)$，将 motivic 不变量与 Kac 多项式直接关联。
• 对于实根 $\alpha$，有 $a_\alpha(q) = 1$；对于虚根，有 $a_\alpha(q) = q + l$，其中 $l$ 是 $G$ 的非平凡不可约表示的数量。
• 生成函数 $\mathcal{Z}_{PT}(Y,-s,Q)$ 为 $\prod_{n \geq 1} \prod_{j=1}^n \prod_{\alpha \in \dot{\Delta}_+} (1 - \mathbb{L}^{j - n/2} s^n Q^\alpha)^{-1}$。
• 生成函数 $\mathcal{Z}_{DT}(Y,-s,Q)$ 为 $\mathcal{Z}_{PT}(Y,-s,Q) \cdot \prod_{n \geq 1} \prod_{j=1}^n (1 - \mathbb{L}^{j+1 - n/2} s^n)^{-1} (1 - \mathbb{L}^{j - n/2} s^n)^{-l}$。
• 在 $\mathbb{L}^{1/2} = 1$ 处特化，可恢复经典 PT 和 DT 不变量：$\overline{\mathcal{Z}}_{PT}(-q,Q) = \prod_{\beta \in \dot{\Delta}_+} M(Q^\beta, q)$ 且 $\overline{\mathcal{Z}}_{DT}(-q,Q) = \overline{\mathcal{Z}}_{PT}(-q,Q) \cdot M(q)^{l+1}$。
• Gopakumar-Vafa 不变量为 $n_{0,\beta} = -1$（当 $\beta \in \dot{\Delta}_+$ 时），其余为零，由 PT 系列通过 GW/PT 对应关系导出。