[论文解读] Motivic theory of representation varieties via Topological Quantum Field Theories

Ángel González-Prieto|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的松弛幺半群拓扑量子场论（TQFT）框架，用于计算任意亏格及任意数量标记点、具有若尔当型单体的抛物 $π_1(\Sigma_g) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 表示簇的动机类。通过推广一种物理启发的TQFT构造方法，该方法实现了德利涅-霍奇多项式的显式计算，得到了闭式公式，恢复并扩展了此前对亏格 $g=1,2,3$ 及多种抛物结构的结果。

ABSTRACT

In this paper, we use lax monoidal TQFTs as an effective computational method for motivic classes of representation varieties. In particular, we perform the calculation for parabolic $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-representation varieties over a closed orientable surface of arbitrary genus and any number of marked points with holonomies of Jordan type. This technique is based on a building method of lax monoidal TQFTs of physical inspiration that generalizes the construction of González-Prieto, Logares and Muñoz.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的计算方法，用于计算闭可定向曲面（任意亏格与标记点）上抛物 $π_1(\Sigma_g) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 表示簇的动机类。
• 通过引入范畴化、基于TQFT的方法，克服现有分层法与算术法的局限性，推广先前的构造。
• 以闭式表达计算这些簇的德利涅-霍奇多项式，尤其针对非一般或若尔当型共轭类的情形。
• 统一并扩展此前关于 $π_1(\Sigma_g) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 特征簇的研究结果，包括 $g=1,2,3$ 及一个或两个标记点的情形。
• 提供一个可通过符号计算推广至其他群与抛物结构的框架。

提出的方法

• 本文从一种物理启发的构建方法出发，构造了一个松弛幺半群TQFT $Z_G$，推广了González-Prieto、Logares与Muñoz的先前工作。
• 该TQFT将曲面与标记点映射到一个权空间 $\mathscr{W}_0$ 上的线性映射，以编码表示簇的动机类。
• 关键组成部分包括矩阵 $\mathscr{Z}^{gm}(L)$、$\mathscr{Z}^{gm}(L_{[J_+]}$、$\mathscr{Z}^{gm}(T)$ 与 $\mathscr{Z}^{gm}(D)$，它们分别代表TQFT中的生成元及包含/投影映射。
• 表示簇的虚拟类计算为 $[\mathfrak{X}_{\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})}(\Sigma_g,Q)] = \frac{1}{(q^3 - q)^{g+r}} \mathscr{Z}^{gm}(D^\dagger) \circ PB^r A^g \circ P \mathscr{Z}^{gm}(D)(\star)$，其中 $A$ 与 $B$ 是由共轭作用导出的对角矩阵。
• 当 $\sigma = -1$ 时，额外引入 $\mathscr{Z}^{gm}(L_{-\mathrm{Id}})$ 项，修改公式以考虑在某一标记点处的 $-\mathrm{Id}$ 单体。
• 使用符号计算软件计算矩阵 $P$、$A$ 与 $B$，从而实现动机类的显式求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有任意亏格与任意数量标记点、且单体为若尔当型的抛物 $π_1(\Sigma_g) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 表示簇计算其动机类？
• RQ2 基于TQFT的方法能否提供一个统一且可推广的框架，用于计算德利涅-霍奇多项式，超越现有的分层或算术技术？
• RQ3 当单体为非一般情形（如 $[J_+]$ 或 $[-\mathrm{Id}]$）时，动机类的精确结构是什么？
• RQ4 这些结果与此前对 $g=1,2,3$ 及一个或两个标记点的计算相比如何？是否实现了扩展？
• RQ5 尽管某些算子在 $r=0$ 时不可逆，该TQFT框架是否可通过设 $r=0$ 来恢复非抛物情形？

主要发现

• 本文推导出一个闭式公式，用于计算亏格 $g$ 的曲面、$r$ 个标记点且单体属于 $[J_+]$ 的 $π_1(\Sigma_g) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 表示簇的动机类，公式为 $[\mathfrak{X}_{\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})}(\Sigma_g,Q)] = \frac{1}{(q^3 - q)^{g+r}} \mathscr{Z}^{gm}(D^\dagger) PB^r A^g P \mathscr{Z}^{gm}(D)(\star)$。
• 当存在一个 $[-\mathrm{Id}]$ 单体时，公式中额外包含 $\mathscr{Z}^{gm}(L_{-\mathrm{Id}})$ 项，结果为 $[\mathfrak{X}_{\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})}(\Sigma_g,Q)] = \frac{1}{(q^3 - q)^{g+r+1}} \mathscr{Z}^{gm}(D^\dagger) \mathscr{Z}^{gm}(L_{-\mathrm{Id}}) PB^r A^g P \mathscr{Z}^{gm}(D)(\star)$。
• 该方法恢复了已知结果：当 $g=1,2$ 且一个标记点属于 $[J_\pm]$ 时，公式与文献[31]一致；当任意 $g$ 且 $r=0$ 或 $1$ 时，与[35, Proposition 11]一致；当 $g=1$ 且两个标记点属于 $[J_\pm]$ 时，与[30, Section 3]一致。
• 非抛物情形（$r=0$）可通过在 $\sigma=1$ 的公式中设 $r=0$ 恢复，但需额外增加一项 $q(q^2 - 1)^{2g-1}$ 以补偿 $r=0$ 时 $A$ 不可逆的问题。
• 当 $q = uv$ 时，所得多项式即为表示簇的德利涅-霍奇多项式，将先前结果推广至任意 $r$ 与 $g$。
• 该框架足够稳健，可处理标准算术或几何方法无法覆盖的非一般共轭类（如 $[J_+]$ 与 $[-\mathrm{Id}]$）。