[论文解读] Multi-ordered Lasserre hierarchy for large scale polynomial optimization in real and complex variables

Cédric Josz, Daniel K. Molzahn|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Numerical methods for differential equations被引用 2

一句话总结

本文提出了一种用于大规模实变量与复变量多项式优化的多阶Lasserre层级方法，通过变量松弛阶数和基于矩的精炼策略提升可计算性。该方法在共轭性条件下实现有限收敛，并成功求解包含最多4,500个变量和14,500个约束的问题，有效应用于最优潮流问题。

ABSTRACT

We propose general notions to deal with large scale polynomial optimization problems and demonstrate their efficiency on a key industrial problem of the twenty first century, namely the optimal power flow problem. These notions enable us to find global minimizers on instances with up to 4,500 variables and 14,500 constraints. First, we generalize the Lasserre hierarchy from real to complex to numbers in order to enhance its tractability when dealing with complex polynomial optimization. Complex numbers are typically used to represent oscillatory phenomena, which are omnipresent in physical systems. Using the notion of hyponormality in operator theory, we provide a finite convergence criterion which generalizes the Curto-Fialkow conditions of the real Lasserre hierarchy. Second, we introduce the multi-ordered Lasserre hierarchy in order to exploit sparsity in polynomial optimization problems (in real or complex variables) while preserving global convergence. It is based on two ideas: 1) to use a different relaxation order for each constraint, and 2) to iteratively seek a closest measure to the truncated moment data until a measure matches the truncated data. Third and last, we exhibit a block diagonal structure of the Lasserre hierarchy in the presence of commonly encountered symmetries.

研究动机与目标

• 解决大规模实变量与复变量多项式优化的计算不可行性问题。
• 将Lasserre层级方法推广至复数域，以提升振荡系统中的可计算性。
• 提出一种多阶层级方法，利用稀疏性的同时保持全局收敛性。
• 利用对称性诱导的块对角结构，进一步提升计算效率。
• 在最优潮流问题上验证该框架，该问题为能源系统中的关键工业挑战。

提出的方法

• 利用算子理论中的共轭性作为有限收敛性准则，将Lasserre层级从实数域推广至复数域。
• 提出一种多阶方法，为每个约束分配不同的松弛阶数，以利用稀疏性。
• 通过迭代精炼方法寻找与截断矩数据匹配的测度，提升收敛精度。
• 将该方法应用于具有对称性的多项式优化问题，揭示了矩矩阵中的块对角结构。
• 将多阶层级与对称性利用相结合，降低计算复杂度。
• 在最多包含4,500个变量和14,500个约束的最优潮流问题上验证该框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lasserre层级能否推广至复多项式优化并保证有限收敛？
• RQ2 如何在不牺牲全局收敛性的前提下利用大规模多项式优化问题中的稀疏性？
• RQ3 共轭性在确保复多项式优化有限收敛性方面发挥何种作用？
• RQ4 多阶松弛策略能否在保持全局最优性的同时提升可扩展性？
• RQ5 多项式优化问题中的对称性如何影响Lasserre层级的结构？

主要发现

• 在共轭性条件下，复多项式优化的广义Lasserre层级可实现有限收敛，扩展了Curto-Fialkow条件。
• 多阶Lasserre层级在利用变量松弛阶数实现稀疏性的同时，保持了全局收敛性。
• 对截断矩数据的迭代精炼可生成与数据匹配的测度，确保收敛至全局最小值点。
• 问题结构中的对称性在矩矩阵中诱导出块对角形式，显著降低了计算成本。
• 该框架成功求解了包含最多4,500个变量和14,500个约束的最优潮流问题，展现出良好的可扩展性。