[论文解读] Moment/Sum-of-Squares Hierarchy for Complex Polynomial Optimization

Cédric Josz, Daniel K. Molzahn|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 80被引用 33

一句话总结

本文提出了一种用于在紧致集上求解实值复多项式问题全局优化的复杂矩/平方和层次方法，利用D’Angelo与Putinar的Positivstellensatz构造一系列复半定规划。该方法实现了全局收敛，并通过利用稀疏性，在保留理论保证的前提下，高效求解包含数千个复变量的大规模最优潮流问题。

ABSTRACT

We consider the problem of finding the global optimum of a real-valued complex polynomial on a compact set defined by real-valued complex polynomial inequalities. It reduces to solving a sequence of complex semidefinite programming relaxations that grow tighter and tighter thanks to D'Angelo's and Putinar's Positivstellenstatz discovered in 2008. In other words, the Lasserre hierarchy may be transposed to complex numbers. We propose a method for exploiting sparsity and apply the complex hierarchy to problems with several thousand complex variables. These problems consist of computing optimal power flows in the European high-voltage transmission network.

研究动机与目标

• 将Lasserre的矩/平方和层次方法扩展至具有紧致可行集的复多项式优化问题。
• 开发一种理论基础坚实的复半定规划松弛框架，确保全局收敛与强对偶性。
• 利用大规模问题（如高压输电网络中的最优潮流）中的稀疏性，提升计算可处理性。
• 提供从层次中提取全局最优可行解的充分条件。
• 建立一种新的截断复矩问题解法，推广实矩问题结果。

提出的方法

• 使用实值Radon测度构建复矩/平方和层次，引入新颖的复矩矩阵与定位矩阵。
• 应用D’Angelo与Putinar的Positivstellensatz，将正多项式表示为全纯多项式模平方的加权和。
• 引入松弛变量与冗余球面约束 $|z_1|^2 + \cdots + |z_{n+1}|^2 = R^2$，以满足Positivstellensatz的正性假设。
• 实施多阶层次结构，在保持全局收敛的同时，利用多项式结构中的稀疏性。
• 采用弦图稀疏性与基于团的分解方法，减小半定规划的规模，尤其适用于二阶约束。
• 在环面作用下引入不变层次结构，以简化对称问题中的收敛性分析并加速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lasserre的矩/平方和层次方法能否成功地推广至具有紧致可行集的复多项式优化问题？
• RQ2 如何在保持全局收敛的前提下，利用复多项式优化问题中的稀疏性以降低计算复杂度？
• RQ3 在复矩/平方和层次中，确保强对偶性与全局最优解恢复的条件是什么？
• RQ4 能否以一种推广实情况的方式求解复截断矩问题，并实现全局解的提取？
• RQ5 对于大规模问题（如最优潮流）而言，复层次方法在性能与边界质量上相较于实值层次方法表现如何？

主要发现

• 复矩/平方和层次全局收敛至复多项式优化问题的真实最优值。
• 在较弱条件下，该方法实现了全局收敛与强对偶性，且具备提取全局最优可行解的充分条件。
• 在五节点最优潮流问题中，当 $d_i=1$ 或 $2$ 时，复层次方法得到了全局最优目标值 946.8。
• 该解通过一种利用稀疏性的算法获得，复层次方法在计算效率上优于实值对应方法。
• 该层次在通过弦图稀疏性与团分解减小问题规模的同时，保留了理论保证，从而能够求解包含数千个复变量的问题。
• 在环面作用下的不变复层次结构，使得对称设置下的收敛性分析成为可能，并简化了问题结构。