[论文解读] Multitensor lifting and strictly unital higher category theory

Michael Batanin, Denis-Charles Cisinski+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 11

一句话总结

本文提出了一种多张量的提升定理，将格雷（Gray）与克兰斯（Crans）张量积统一于范畴论框架之中，使得通过约化高阶运算器（reduced higher operads）构造具有严格单位的弱 $n$-范畴成为可能。其核心贡献在于定义了具有严格单位的弱 $n$-范畴上的 lax 张量积，使得通过 enriched（扩充）可得到具有严格单位的弱 $(n+1)$-范畴，该过程通过代数弱因子分解系统以及合同的约化 $T_{\text{≤}n}$-运算器得以形式化。

ABSTRACT

In this article we extend the theory of lax monoidal structures, also known as multitensors, and the monads on categories of enriched graphs that they give rise to. Our first principal result -- the lifting theorem for multitensors -- enables us to see the Gray tensor product of 2-categories and the Crans tensor product of Gray categories as part of this framework. We define weak n-categories with strict units by means of a notion of reduced higher operad, using the theory of algebraic weak factorisation systems. Our second principal result is to establish a lax tensor product on the category of weak n-categories with strict units, so that enriched categories with respect to this tensor product are exactly weak (n+1)-categories with strict units.

研究动机与目标

• 将多张量及其相关单子的理论扩展，使其包含格雷与克兰斯张量积作为特例。
• 在代数弱因子分解系统的框架下，通过一类新的高阶运算器——约化 $ T_{ ext{≤}n}$-运算器——定义具有严格单位的弱 $n$-范畴。
• 在具有严格单位的弱 $n$-范畴上建立 lax 张量积，使得通过扩充可产生具有严格单位的弱 $(n+1)$-范畴。
• 通过 $ T_{ ext{≤}n}$-运算器的合同性条件，形式化高阶范畴论中严格单位的概念。

提出的方法

• 发展了多张量的提升定理，以在 enriched 图的范畴上构造 lax 单位结构，推广了戴伊卷积（Day convolution），并使得格雷张量积得以包含在内。
• 引入了一类新的高阶运算器——约化 $ T_{ ext{≤}n}$-运算器，其中合同性条件强制了所生成代数中的严格单位。
• 使用代数弱因子分解系统来建模具有严格单位的弱 $n$-范畴的运算器定义，确保单位的共轭性与严格性。
• 该构造涉及自然变换的单位性条件，并与树包含相容，确保多张量结构的单位在提升过程中被保持。
• 证明了提升过程保持了选定的收缩结构，从而实现了具有与不具有此类结构的运算器之间的良好定义的伴随关系。
• 关键技术工具是自然变换 $ u_B: B o rh(B)$，它编码了提升后多张量结构中单位的共轭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在多张量提升的统一框架下系统地统一格雷与克兰斯张量积？
• RQ2 捕捉具有严格单位的弱 $n$-范畴的范畴结构是什么？它如何通过运算器定义？
• RQ3 多张量的提升定理如何与高阶范畴中严格单位的概念相互作用？
• RQ4 在具有严格单位的弱 $n$-范畴上使用 lax 张量积进行迭代扩充，是否能产生具有严格单位的弱 $(n+1)$-范畴？
• RQ5 高阶运算器需满足何种条件，才能使其代数具有严格单位？此类运算器如何构造？

主要发现

• 多张量的提升定理成功地将 2-范畴的格雷张量积与格雷范畴的克兰斯张量积作为一般框架下的特例纳入其中。
• 通过通用合同性约化 $ T_{ ext{≤}n}$-运算器的代数，实现了具有严格单位的弱 $n$-范畴的构造，推广了弱 $n$-范畴的运算器定义。
• 在具有严格单位的弱 $n$-范畴的范畴上识别出一个 lax 张量积 $ L_{ ext{≤}n}$，使得该张量积上的 enriched 范畴恰好是具有严格单位的弱 $(n+1)$-范畴。
• 自然变换 $ u_B: B o rh(B)$ 与选定的收缩结构及树包含相容，确保了在提升过程中单位性得以保持。
• 提升过程保持了选定收缩结构的构造，使得在具有与不具有此类结构的运算器之间可构造出良好定义的伴随关系。
• 该框架表明，高阶范畴中的严格单位可通过约化 $ T_{ ext{≤}n}$-运算器的合同性来形式化，为具有单位的高阶范畴理论提供了连贯且代数化的基础。