[论文解读] Nash embedding, shape operator and Navier-Stokes equation on a Riemannian manifold

Shizan Fang|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文利用Nash嵌入与形状算子理论，研究了在紧致黎曼流形上纳维-斯托克斯方程中拉普拉斯算子的选择问题。通过将流形等距嵌入欧几里得空间，作者利用de Rham-Hodge拉普拉斯算子推导出纳维-斯托克斯方程的概率表示公式，确立了其在随机分析与几何流体动力学中的自然角色。

ABSTRACT

What is the suitable Laplace operator on vector fields for the Navier-Stokes equation on a Riemannian manifold? In this note, by considering Nash embedding, we will try to elucidate different aspects of different Laplace operators such as de Rham-Hodge Laplacian as well as Ebin-Marsden's Laplacian. A probabilistic representation formula for Navier-Stokes equations on a general compact Riemannian manifold is obtained when de Rham-Hodge Laplacian is involved. MSC 2010: 35Q30, 58J65

研究动机与目标

• 澄清不同拉普拉斯算子（特别是de Rham-Hodge算子与Ebin-Marsden算子）在紧致黎曼流形上纳维-斯托克斯方程中的几何与分析适用性。
• 研究de Rham-Hodge拉普拉斯算子是否在弯曲几何的随机流与变分原理中自然出现。
• 在一般紧致黎曼流形上，利用de Rham-Hodge拉普拉斯算子建立纳维-斯托克斯方程的概率表示公式。
• 从几何不变性与物理相关性角度，比较基于形变张量的Ebin-Marsden拉普拉斯算子与de Rham-Hodge拉普拉斯算子。
• 探讨Killing向量场与曲率（Ricci张量）在决定Ebin-Marsden拉普拉斯算子是否保持无散向量场空间中的作用。

提出的方法

• 利用Nash嵌入将紧致黎曼流形 $M$ 等距嵌入到高维欧几里得空间 $\mathbb{R}^N$ 中。
• 在 $M$ 上构造一族向量场 $\{A_1, \dots, A_N\}$，使得其李导数平方和等于拉普拉斯-贝尔特拉米算子：$\Delta = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2$。
• 依赖形状算子与第二基本形式，将 $M$ 的内蕴几何与在 $\mathbb{R}^N$ 中的外蕴几何联系起来。
• 通过恒等式 $-\square B = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2 B + 2\mathcal{T}_1(B)$ 对无散向量场，利用de Rham-Hodge拉普拉斯算子推导出纳维-斯托克斯方程的随机表示。
• 对与随机流相关的密度过程 $\rho_t$ 应用伊藤微积分，导出 $\rho_t$ 的随机偏微分方程（SPDE）。
• 利用李导数 $\mathcal{L}_{u_t}^*$ 的伴随算子与解的唯一性，证明概率解与经典解一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼流形上，de Rham-Hodge算子与Ebin-Marsden算子中，哪一个对纳维-斯托克斯方程更具几何与物理上的自然性？
• RQ2 能否在一般紧致黎曼流形上，利用de Rham-Hodge拉普拉斯算子导出纳维-斯托克斯方程的概率表示公式？
• RQ3 流形的曲率（特别是Ricci张量）如何影响Ebin-Marsden拉普拉斯算子与无散条件的相容性？
• RQ4 在何种几何条件下，Ebin-Marsden拉普拉斯算子能保持无散向量场空间的不变性？
• RQ5 形状算子与Nash嵌入在将拉普拉斯算子分解为流形上向量场的李导数中起何种作用？

主要发现

• de Rham-Hodge拉普拉斯算子 $\square$ 在随机分析背景下自然出现，并为紧致黎曼流形上的纳维-斯托克斯方程提供了概率表示。
• 该概率表示通过恒等式 $-\square B = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2 B + 2\mathcal{T}_1(B)$ 推导得出，其中 $\{A_i\}$ 为Nash嵌入所导出的向量场。
• 除非流形为爱因斯坦流形（即Ricci曲率与度量成比例），否则Ebin-Marsden拉普拉斯算子 $\hat{\square}$ 不保持无散向量场空间。
• 密度 $\rho_t$ 的SPDE被导出为 $d\rho_t = -\sqrt{2\nu}\langle dJ(x)\nabla\rho_t + \text{Trace}(\alpha)\rho_t, dW_t\rangle + (\nu\Delta\rho_t + \mathcal{L}_{u_t}\rho_t)dt$，将随机流与纳维-斯托克斯动力学联系起来。
• 热型方程 $\frac{dz_t}{dt} = -\nu \tilde{\square} z_t - \mathcal{L}_{u_t}^* z_t$ 在初值 $z_0 = 0$ 下解的唯一性意味着 $z_t = 0$，从而证明概率解与经典解一致。
• Ebin-Marsden拉普拉斯算子满足 $\hat{\square}B = \square B + 2\text{Ric}(B)$ 对于无散 $B$，确认其在一般曲率流形中不保持无散性。